Упр.642 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать теорему о биссектрисе треугольникаС пояснением
Дано: в треугольнике ABC биссектриса AD пересекает сторону BC в точке D. Докажем, что BD : DC = AB : AC.1) Через точку C проведём прямую CE, параллельную AD, до пересечения с продолжением стороны AB в точке E.2) Так как CE ∥ AD, то ∠ACE = ∠CAD и ∠AEC = ∠BAD. Но AD — биссектриса, поэтому ∠CAD = ∠BAD. Следовательно, ∠ACE = ∠AEC, значит, треугольник ACE равнобедренный и AC = AE.3) В треугольнике BCE отрезок AD параллелен стороне CE. По теореме о пропорциональных отрезках:
BD : DC = AB : AE.4) Так как AE = AC, получаем:
BD : DC = AB : AC.Ответ: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Кратко Пусть AD — биссектриса треугольника ABC, D ∈ BC. Через C проведём CE ∥ AD до пересечения с продолжением AB.Так как ∠ACE = ∠CAD = ∠BAD = ∠AEC, то AC = AE. По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике BCE:
BD : DC = AB : AE = AB : AC.Ответ: BD : DC = AB : AC.
BD : DC = AB : AE.4) Так как AE = AC, получаем:
BD : DC = AB : AC.Ответ: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Кратко Пусть AD — биссектриса треугольника ABC, D ∈ BC. Через C проведём CE ∥ AD до пересечения с продолжением AB.Так как ∠ACE = ∠CAD = ∠BAD = ∠AEC, то AC = AE. По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике BCE:
BD : DC = AB : AE = AB : AC.Ответ: BD : DC = AB : AC.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти касательные AB, AC и углы при AС пояснением
1) Треугольник AOB прямоугольный, так как OB ⟂ AB. По теореме Пифагора:
AB = √(OA² − OB²) = √(6² − 3²) = √27 = 3√3 (см).2) В прямоугольном треугольнике AOB катет OB равен половине гипотенузы OA: 3 = 6 : 2. Значит, угол, лежащий против этого катета, равен 30°:
∠BAO = 30°.3) Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны, поэтому:
AC = AB = 3√3 (см).4) Прямоугольные треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе OA и катетам OB = OC. Следовательно:
∠OAC = ∠BAO = 30°.Ответ: AB = AC = 3√3 см; ∠BAO = ∠OAC = 30°.
Кратко AB = √(OA² − OB²) = √(36 − 9) = 3√3 (см).
AC = AB = 3√3 (см).
Так как OB = OA : 2, то ∠BAO = 30°. Треугольники AOB и AOC равны, поэтому ∠OAC = 30°.Ответ: AB = AC = 3√3 см; ∠BAO = ∠OAC = 30°.
AB = √(OA² − OB²) = √(6² − 3²) = √27 = 3√3 (см).2) В прямоугольном треугольнике AOB катет OB равен половине гипотенузы OA: 3 = 6 : 2. Значит, угол, лежащий против этого катета, равен 30°:
∠BAO = 30°.3) Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны, поэтому:
AC = AB = 3√3 (см).4) Прямоугольные треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе OA и катетам OB = OC. Следовательно:
∠OAC = ∠BAO = 30°.Ответ: AB = AC = 3√3 см; ∠BAO = ∠OAC = 30°.
Кратко AB = √(OA² − OB²) = √(36 − 9) = 3√3 (см).
AC = AB = 3√3 (см).
Так как OB = OA : 2, то ∠BAO = 30°. Треугольники AOB и AOC равны, поэтому ∠OAC = 30°.Ответ: AB = AC = 3√3 см; ∠BAO = ∠OAC = 30°.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Задание учебника 2023 года
На рисунке 213 ОВ = 3см, ОА = 6 см. Найдите АВ, AC, угол 3 и угол 4.
