Упр.540 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что пересечение осей — центр симметрииС пояснением
Пусть взаимно перпендикулярные оси симметрии a и b пересекаются в точке O. Возьмём произвольную точку A фигуры.1) Отразим точку A относительно оси a и получим точку A₁. Так как a — ось симметрии, A₁ также принадлежит фигуре.
2) Отразим точку A₁ относительно оси b и получим точку A₂. Поскольку b — ось симметрии, A₂ также принадлежит фигуре.
3) При каждом отражении расстояние до точки O сохраняется, поэтому OA = OA₁ = OA₂. Так как оси a и b перпендикулярны, после двух отражений луч OA переходит в противоположный ему луч OA₂. Значит, точки A, O и A₂ лежат на одной прямой, причём OA = OA₂.Следовательно, O — середина отрезка AA₂. Таким образом, каждой точке фигуры соответствует симметричная ей относительно O точка той же фигуры.Ответ: точка пересечения двух взаимно перпендикулярных осей является центром симметрии фигуры.
Кратко Пусть оси a и b пересекаются в точке O. Возьмём любую точку A фигуры и последовательно отразим её относительно a и b. Полученная точка A₂ также принадлежит фигуре. Два отражения относительно перпендикулярных прямых переводят луч OA в противоположный луч и сохраняют расстояние до O. Поэтому A, O, A₂ лежат на одной прямой и OA = OA₂. Значит, O — середина AA₂.Ответ: O является центром симметрии фигуры.
2) Отразим точку A₁ относительно оси b и получим точку A₂. Поскольку b — ось симметрии, A₂ также принадлежит фигуре.
3) При каждом отражении расстояние до точки O сохраняется, поэтому OA = OA₁ = OA₂. Так как оси a и b перпендикулярны, после двух отражений луч OA переходит в противоположный ему луч OA₂. Значит, точки A, O и A₂ лежат на одной прямой, причём OA = OA₂.Следовательно, O — середина отрезка AA₂. Таким образом, каждой точке фигуры соответствует симметричная ей относительно O точка той же фигуры.Ответ: точка пересечения двух взаимно перпендикулярных осей является центром симметрии фигуры.
Кратко Пусть оси a и b пересекаются в точке O. Возьмём любую точку A фигуры и последовательно отразим её относительно a и b. Полученная точка A₂ также принадлежит фигуре. Два отражения относительно перпендикулярных прямых переводят луч OA в противоположный луч и сохраняют расстояние до O. Поэтому A, O, A₂ лежат на одной прямой и OA = OA₂. Значит, O — середина AA₂.Ответ: O является центром симметрии фигуры.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти стороны CD и DEС пояснением
1) CE = CF + EF = 8 + 12 = 20 (см).2) Так как противоположные стороны ромба параллельны, MF ∥ DE и FN ∥ CD. Поэтому параллельные прямые отсекают на сторонах треугольника пропорциональные отрезки:
DM/CD = EF/CE = 12/20 = 3/5,
DN/DE = CF/CE = 8/20 = 2/5.3) У ромба DM = DN, значит 3/5 · CD = 2/5 · DE. Следовательно, CD : DE = 2 : 3.4) CD + DE = 55 − 20 = 35 (см).5) 35 : (2 + 3) = 7 (см) — приходится на одну часть.6) CD = 7 · 2 = 14 (см),
DE = 7 · 3 = 21 (см).Ответ: CD = 14 см, DE = 21 см.
Кратко 1) CE = 8 + 12 = 20 (см).
2) CD + DE = 55 − 20 = 35 (см).
3) Из параллельности противоположных сторон ромба и равенства DM = DN получаем CD : DE = 2 : 3.
4) CD = 35 · 2/5 = 14 (см), DE = 35 · 3/5 = 21 (см).
Ответ: CD = 14 см, DE = 21 см.
DM/CD = EF/CE = 12/20 = 3/5,
DN/DE = CF/CE = 8/20 = 2/5.3) У ромба DM = DN, значит 3/5 · CD = 2/5 · DE. Следовательно, CD : DE = 2 : 3.4) CD + DE = 55 − 20 = 35 (см).5) 35 : (2 + 3) = 7 (см) — приходится на одну часть.6) CD = 7 · 2 = 14 (см),
DE = 7 · 3 = 21 (см).Ответ: CD = 14 см, DE = 21 см.
Кратко 1) CE = 8 + 12 = 20 (см).
2) CD + DE = 55 − 20 = 35 (см).
3) Из параллельности противоположных сторон ромба и равенства DM = DN получаем CD : DE = 2 : 3.
4) CD = 35 · 2/5 = 14 (см), DE = 35 · 3/5 = 21 (см).
Ответ: CD = 14 см, DE = 21 см.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии фигуры.
Задание учебника 2023 года
Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб DMFN так, что вершины М, F и N лежат соответственно на сторонах CD, СЕ и DE. Найдите стороны CD и DE, если CF = 8 см, EF = 12 см.
