Упр.535 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство отрезка полуразности основанийС пояснением
Пусть основания трапеции ABCD — AD и BC, причём AD > BC, а ∠A + ∠D = 90°. Обозначим середины оснований AD и BC через M и N.1) Опустим перпендикуляры BE и CF на AD. Тогда BE = CF. Обозначим AE = x, FD = y, BE = CF = h.2) Так как ∠ABE = 90° − ∠A = ∠D, прямоугольные треугольники ABE и DCF подобны. Поэтому
x : h = h : y,
то есть h² = xy.3) Опустим из N перпендикуляр NH на AD. Поскольку N — середина BC, точка H — середина EF. Поэтому
MH = |x − y|/2,
NH = h.4) По теореме Пифагора для треугольника MHN:
MN² = MH² + NH² = (x − y)²/4 + xy = (x + y)²/4.
Следовательно, MN = (x + y)/2.5) Так как EF = BC, то
AD − BC = AE + FD = x + y.
Значит,
MN = (AD − BC)/2.Ответ: отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.
Кратко Пусть M и N — середины оснований AD и BC. Опустим BE ⟂ AD и CF ⟂ AD; положим AE = x, FD = y, BE = CF = h.Из ∠A + ∠D = 90° следует, что прямоугольные треугольники ABE и DCF подобны, поэтому h² = xy.Если NH ⟂ AD, то MH = |x − y|/2. Тогда
MN² = h² + MH² = xy + (x − y)²/4 = (x + y)²/4,
откуда MN = (x + y)/2.Но x + y = AD − BC. Следовательно,
MN = (AD − BC)/2.Ответ: MN = (AD − BC)/2.
x : h = h : y,
то есть h² = xy.3) Опустим из N перпендикуляр NH на AD. Поскольку N — середина BC, точка H — середина EF. Поэтому
MH = |x − y|/2,
NH = h.4) По теореме Пифагора для треугольника MHN:
MN² = MH² + NH² = (x − y)²/4 + xy = (x + y)²/4.
Следовательно, MN = (x + y)/2.5) Так как EF = BC, то
AD − BC = AE + FD = x + y.
Значит,
MN = (AD − BC)/2.Ответ: отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.
Кратко Пусть M и N — середины оснований AD и BC. Опустим BE ⟂ AD и CF ⟂ AD; положим AE = x, FD = y, BE = CF = h.Из ∠A + ∠D = 90° следует, что прямоугольные треугольники ABE и DCF подобны, поэтому h² = xy.Если NH ⟂ AD, то MH = |x − y|/2. Тогда
MN² = h² + MH² = xy + (x − y)²/4 = (x + y)²/4,
откуда MN = (x + y)/2.Но x + y = AD − BC. Следовательно,
MN = (AD − BC)/2.Ответ: MN = (AD − BC)/2.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать теорему о биссектрисе треугольникаС пояснением
Дано: в треугольнике ABC биссектриса AD пересекает сторону BC в точке D. Докажем, что BD : DC = AB : AC.1) Через точку C проведём прямую CE, параллельную AD, до пересечения с продолжением стороны AB в точке E.2) Так как CE ∥ AD, то ∠ACE = ∠CAD и ∠AEC = ∠BAD. Но AD — биссектриса, поэтому ∠CAD = ∠BAD. Следовательно, ∠ACE = ∠AEC, значит, треугольник ACE равнобедренный и AC = AE.3) В треугольнике BCE отрезок AD параллелен стороне CE. По теореме о пропорциональных отрезках:
BD : DC = AB : AE.4) Так как AE = AC, получаем:
BD : DC = AB : AC.Ответ: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Кратко Пусть AD — биссектриса треугольника ABC, D ∈ BC. Через C проведём CE ∥ AD до пересечения с продолжением AB.Так как ∠ACE = ∠CAD = ∠BAD = ∠AEC, то AC = AE. По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике BCE:
BD : DC = AB : AE = AB : AC.Ответ: BD : DC = AB : AC.
BD : DC = AB : AE.4) Так как AE = AC, получаем:
BD : DC = AB : AC.Ответ: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Кратко Пусть AD — биссектриса треугольника ABC, D ∈ BC. Через C проведём CE ∥ AD до пересечения с продолжением AB.Так как ∠ACE = ∠CAD = ∠BAD = ∠AEC, то AC = AE. По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике BCE:
BD : DC = AB : AE = AB : AC.Ответ: BD : DC = AB : AC.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
