Упр.543 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство площадей ABCD и AMDС пояснением
Начертим параллелограмм ABCD. На продолжении стороны DC за точку C отметим точку M так, чтобы CM = CD. Тогда M симметрична D относительно C.1) Так как C — середина отрезка DM, то DM = 2CD.
2) Высота треугольника AMD, проведённая из A к прямой DM, равна высоте параллелограмма ABCD, так как DM ∥ AB.
3) Обозначим эту высоту через h. Тогда
S_{AMD} = 1/2 · DM · h = 1/2 · 2CD · h = CD · h.
Но S_{ABCD} = CD · h.Следовательно, S_{ABCD} = S_{AMD}.Ответ: S_{ABCD} = S_{AMD}.
Кратко C — середина DM, поэтому DM = 2CD. Высота треугольника AMD к стороне DM равна высоте параллелограмма к стороне CD. Тогда
S_{AMD} = 1/2 · DM · h = 1/2 · 2CD · h = CD · h = S_{ABCD}.Ответ: S_{ABCD} = S_{AMD}.
2) Высота треугольника AMD, проведённая из A к прямой DM, равна высоте параллелограмма ABCD, так как DM ∥ AB.
3) Обозначим эту высоту через h. Тогда
S_{AMD} = 1/2 · DM · h = 1/2 · 2CD · h = CD · h.
Но S_{ABCD} = CD · h.Следовательно, S_{ABCD} = S_{AMD}.Ответ: S_{ABCD} = S_{AMD}.
Кратко C — середина DM, поэтому DM = 2CD. Высота треугольника AMD к стороне DM равна высоте параллелограмма к стороне CD. Тогда
S_{AMD} = 1/2 · DM · h = 1/2 · 2CD · h = CD · h = S_{ABCD}.Ответ: S_{ABCD} = S_{AMD}.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Сравнить сходственные стороны и высотыС пояснением
Пусть △ABC ∼ △A₁B₁C₁, а CH и C₁H₁ — высоты, проведённые к сходственным сторонам AB и A₁B₁.1) Прямоугольные треугольники ACH и A₁C₁H₁ подобны по двум углам: ∠AHC = ∠A₁H₁C₁ = 90°, а углы при вершинах A и A₁ равны как соответствующие углы подобных треугольников (или являются дополнениями до 180° к равным углам).2) Поэтому отношение соответствующих сторон этих прямоугольных треугольников равно:
CH/C₁H₁ = AC/A₁C₁.3) Так как △ABC ∼ △A₁B₁C₁, то
AC/A₁C₁ = AB/A₁B₁.Следовательно,
AB/A₁B₁ = CH/C₁H₁.Ответ: отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.
Кратко Пусть CH и C₁H₁ — высоты к сходственным сторонам AB и A₁B₁. Прямоугольные треугольники ACH и A₁C₁H₁ подобны по двум углам, поэтому
CH/C₁H₁ = AC/A₁C₁.
Но из подобия △ABC и △A₁B₁C₁:
AC/A₁C₁ = AB/A₁B₁.
Значит,
CH/C₁H₁ = AB/A₁B₁.Ответ: отношение сходственных сторон равно отношению проведённых к ним высот.
CH/C₁H₁ = AC/A₁C₁.3) Так как △ABC ∼ △A₁B₁C₁, то
AC/A₁C₁ = AB/A₁B₁.Следовательно,
AB/A₁B₁ = CH/C₁H₁.Ответ: отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.
Кратко Пусть CH и C₁H₁ — высоты к сходственным сторонам AB и A₁B₁. Прямоугольные треугольники ACH и A₁C₁H₁ подобны по двум углам, поэтому
CH/C₁H₁ = AC/A₁C₁.
Но из подобия △ABC и △A₁B₁C₁:
AC/A₁C₁ = AB/A₁B₁.
Значит,
CH/C₁H₁ = AB/A₁B₁.Ответ: отношение сходственных сторон равно отношению проведённых к ним высот.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Начертите параллелограмм ABCD и отметьте точку М, симметричную точке D относительно точки С. Докажите, что SABCD = SAMD.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.
