Упр.515 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить прямоугольник по заданным элементамС пояснением
а) По двум смежным сторонам
1) Построим отрезок AB, равный одной заданной стороне.
2) В точке A проведём перпендикуляр к AB и отложим на нём AD, равный второй стороне.
3) Через B проведём прямую, параллельную AD, а через D — прямую, параллельную AB. Точку их пересечения обозначим C.
Полученный четырёхугольник ABCD — прямоугольник.б) По стороне и диагонали
1) Построим заданную сторону AB.
2) В точке B восстановим перпендикуляр к AB.
3) Проведём окружность с центром A и радиусом, равным заданной диагонали. Точку пересечения окружности с перпендикуляром обозначим C.
4) Через A проведём прямую, параллельную BC, а через C — прямую, параллельную AB. Их пересечение обозначим D.
ABCD — прямоугольник, причём AC равна заданной диагонали.в) По диагонали и углу между диагоналями
1) Построим заданную диагональ AC и найдём её середину O.
2) Через O проведём прямую, образующую с AC заданный угол.
3) Проведём окружность с центром O и радиусом OA. Точки её пересечения с построенной прямой обозначим B и D.
4) Последовательно соединим точки A, B, C, D.
Диагонали AC и BD равны и делятся точкой O пополам. Поэтому ABCD — параллелограмм с равными диагоналями, то есть прямоугольник.Ответ: прямоугольники построены указанными способами.
Кратко а) Построить AB и перпендикулярный ему отрезок AD заданных длин. Через B и D провести прямые, параллельные AD и AB. Их пересечение — C.б) Построить сторону AB и перпендикуляр к ней в точке B. Окружность с центром A и радиусом, равным диагонали, пересечёт перпендикуляр в C. Провести AD ∥ BC и CD ∥ AB.в) Построить диагональ AC, отметить её середину O. Через O провести прямую под заданным углом к AC. На ней отложить OB = OD = OA и соединить A, B, C, D.Ответ: полученные четырёхугольники ABCD — прямоугольники.
1) Построим отрезок AB, равный одной заданной стороне.
2) В точке A проведём перпендикуляр к AB и отложим на нём AD, равный второй стороне.
3) Через B проведём прямую, параллельную AD, а через D — прямую, параллельную AB. Точку их пересечения обозначим C.
Полученный четырёхугольник ABCD — прямоугольник.б) По стороне и диагонали
1) Построим заданную сторону AB.
2) В точке B восстановим перпендикуляр к AB.
3) Проведём окружность с центром A и радиусом, равным заданной диагонали. Точку пересечения окружности с перпендикуляром обозначим C.
4) Через A проведём прямую, параллельную BC, а через C — прямую, параллельную AB. Их пересечение обозначим D.
ABCD — прямоугольник, причём AC равна заданной диагонали.в) По диагонали и углу между диагоналями
1) Построим заданную диагональ AC и найдём её середину O.
2) Через O проведём прямую, образующую с AC заданный угол.
3) Проведём окружность с центром O и радиусом OA. Точки её пересечения с построенной прямой обозначим B и D.
4) Последовательно соединим точки A, B, C, D.
Диагонали AC и BD равны и делятся точкой O пополам. Поэтому ABCD — параллелограмм с равными диагоналями, то есть прямоугольник.Ответ: прямоугольники построены указанными способами.
Кратко а) Построить AB и перпендикулярный ему отрезок AD заданных длин. Через B и D провести прямые, параллельные AD и AB. Их пересечение — C.б) Построить сторону AB и перпендикуляр к ней в точке B. Окружность с центром A и радиусом, равным диагонали, пересечёт перпендикуляр в C. Провести AD ∥ BC и CD ∥ AB.в) Построить диагональ AC, отметить её середину O. Через O провести прямую под заданным углом к AC. На ней отложить OB = OD = OA и соединить A, B, C, D.Ответ: полученные четырёхугольники ABCD — прямоугольники.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Найти площадь равнобедренного треугольника
Найти площадь равнобедренного треугольникаС пояснением
Пусть AB = BC = 20 см, AC — основание. Проведём высоту BD к основанию AC.1) BD = 20 : 2 = 10 (см) — катет, лежащий против угла 30°.
2) AD² = AB² − BD² = 20² − 10² = 300, поэтому AD = 10√3 (см).
3) AC = 2AD = 20√3 (см), так как высота равнобедренного треугольника является медианой.
4) S = AC · BD : 2 = 20√3 · 10 : 2 = 100√3 (см²).Ответ: 100√3 см².
Кратко Проведём высоту к основанию.
1) 20 : 2 = 10 (см) — высота.
2) √(20² − 10²) = 10√3 (см) — половина основания.
3) 10√3 · 2 = 20√3 (см) — основание.
4) 20√3 · 10 : 2 = 100√3 (см²).
Ответ: 100√3 см².
2) AD² = AB² − BD² = 20² − 10² = 300, поэтому AD = 10√3 (см).
3) AC = 2AD = 20√3 (см), так как высота равнобедренного треугольника является медианой.
4) S = AC · BD : 2 = 20√3 · 10 : 2 = 100√3 (см²).Ответ: 100√3 см².
Кратко Проведём высоту к основанию.
1) 20 : 2 = 10 (см) — высота.
2) √(20² − 10²) = 10√3 (см) — половина основания.
3) 10√3 · 2 = 20√3 (см) — основание.
4) 20√3 · 10 : 2 = 100√3 (см²).
Ответ: 100√3 см².
Разбор 2 Найдите площадь равнобедренного треугольника
Найдите площадь равнобедренного треугольникаС пояснением
Пусть AB — основание равнобедренного треугольника ABC, а AH — высота к боковой стороне BC.1) AH ⟂ BC, а угол между AH и AB равен 45°. Поэтому угол при основании B равен 45°.
2) Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит ∠A = ∠B = 45°.
3) ∠C = 180° − 45° − 45° = 90°. Следовательно, AC ⟂ BC. Значит, высота AH совпадает со стороной AC, поэтому AC = 6 см.
4) Боковые стороны равны: BC = AC = 6 см.
5) 6 · 6 : 2 = 18 (см²) — площадь треугольника.Ответ: 18 см².
Кратко Углы при основании равны по 45°, поэтому угол между боковыми сторонами равен 90°. Высота длиной 6 см совпадает с одной боковой стороной, значит обе боковые стороны равны 6 см.1) 6 · 6 : 2 = 18 (см²).Ответ: 18 см².
2) Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит ∠A = ∠B = 45°.
3) ∠C = 180° − 45° − 45° = 90°. Следовательно, AC ⟂ BC. Значит, высота AH совпадает со стороной AC, поэтому AC = 6 см.
4) Боковые стороны равны: BC = AC = 6 см.
5) 6 · 6 : 2 = 18 (см²) — площадь треугольника.Ответ: 18 см².
Кратко Углы при основании равны по 45°, поэтому угол между боковыми сторонами равен 90°. Высота длиной 6 см совпадает с одной боковой стороной, значит обе боковые стороны равны 6 см.1) 6 · 6 : 2 = 18 (см²).Ответ: 18 см².
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями.
Задание учебника 2023 года
Найдите площадь равнобедренного треугольника, если: а) боковая сторона равна 20 см, а угол при основании равен 30°; б) высота, проведённая к боковой стороне, равна 6 см и образует с основанием угол в 45°.
