Упр.512 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить прямую и отрезок симметрично относительно pС пояснением
1) Отметим на прямой b две точки C и D. Построим точки C₁ и D₁, симметричные им относительно прямой p: проведём перпендикуляры к p и отложим с другой стороны от p равные расстояния.
2) Проведём прямую b₁ через точки C₁ и D₁. Она симметрична прямой b относительно p.
3) Если прямые a и b₁ пересекаются, обозначим их точку пересечения A. Построим точку B, симметричную A относительно p. Тогда B лежит на b, а прямая p является осью симметрии отрезка AB.
4) Если a и b₁ — различные параллельные прямые, искомого отрезка не существует. Если a и b₁ совпадают, можно выбрать любую точку A на этой прямой и построить симметричную ей точку B. Лучше выбрать A вне p, чтобы получить ненулевой отрезок. Если общая прямая совпадает с p, возможен только случай A = B.
Ответ: искомый отрезок — AB, где A ∈ a ∩ b₁, а B симметрична A относительно p.
Кратко Построим образы C₁ и D₁ двух точек C, D прямой b относительно p. Прямая C₁D₁ и есть b₁.
Если A = a ∩ b₁, отразим A относительно p и получим B ∈ b. Тогда AB — искомый отрезок.
При a ∥ b₁ решения нет; при a = b₁ точку A можно выбрать произвольно вне p. Если общая прямая совпадает с p, получается только A = B.
Ответ: AB, где точки A и B симметричны относительно p.
2) Проведём прямую b₁ через точки C₁ и D₁. Она симметрична прямой b относительно p.
3) Если прямые a и b₁ пересекаются, обозначим их точку пересечения A. Построим точку B, симметричную A относительно p. Тогда B лежит на b, а прямая p является осью симметрии отрезка AB.
4) Если a и b₁ — различные параллельные прямые, искомого отрезка не существует. Если a и b₁ совпадают, можно выбрать любую точку A на этой прямой и построить симметричную ей точку B. Лучше выбрать A вне p, чтобы получить ненулевой отрезок. Если общая прямая совпадает с p, возможен только случай A = B.
Ответ: искомый отрезок — AB, где A ∈ a ∩ b₁, а B симметрична A относительно p.
Кратко Построим образы C₁ и D₁ двух точек C, D прямой b относительно p. Прямая C₁D₁ и есть b₁.
Если A = a ∩ b₁, отразим A относительно p и получим B ∈ b. Тогда AB — искомый отрезок.
При a ∥ b₁ решения нет; при a = b₁ точку A можно выбрать произвольно вне p. Если общая прямая совпадает с p, получается только A = B.
Ответ: AB, где точки A и B симметричны относительно p.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти длину делящего отрезкаС пояснением
Пусть x — длина искомого отрезка, h₁ и h₂ — высоты получившихся трапеций. Будем считать, что a ≤ b.1) Так как длина сечения трапеции изменяется равномерно, то
h₁ : h₂ = (x − a) : (b − x).2) Площади получившихся трапеций равны, поэтому
(a + x)h₁/2 = (b + x)h₂/2,
откуда
h₁ : h₂ = (b + x) : (a + x).3) Приравняем отношения:
(x − a)/(b − x) = (b + x)/(a + x).
Тогда
(x − a)(x + a) = (b − x)(b + x),
x² − a² = b² − x²,
2x² = a² + b²,
x = √((a² + b²)/2).Если a = b, получается тот же результат: x = a.Ответ: √((a² + b²)/2).
Кратко Пусть x — длина искомого отрезка. Из равенства площадей и пропорционального изменения сечений получаем:
(x − a)(x + a) = (b − x)(b + x),
2x² = a² + b²,
x = √((a² + b²)/2).Ответ: √((a² + b²)/2).
h₁ : h₂ = (x − a) : (b − x).2) Площади получившихся трапеций равны, поэтому
(a + x)h₁/2 = (b + x)h₂/2,
откуда
h₁ : h₂ = (b + x) : (a + x).3) Приравняем отношения:
(x − a)/(b − x) = (b + x)/(a + x).
Тогда
(x − a)(x + a) = (b − x)(b + x),
x² − a² = b² − x²,
2x² = a² + b²,
x = √((a² + b²)/2).Если a = b, получается тот же результат: x = a.Ответ: √((a² + b²)/2).
Кратко Пусть x — длина искомого отрезка. Из равенства площадей и пропорционального изменения сечений получаем:
(x − a)(x + a) = (b − x)(b + x),
2x² = a² + b²,
x = √((a² + b²)/2).Ответ: √((a² + b²)/2).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?
Задание учебника 2023 года
Основания трапеции равны а и b. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.
