Упр.510 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Разбор 1 Доказать, что параллелограмм с перпендикулярными диагоналями — ромб
Доказать, что параллелограмм с перпендикулярными диагоналями — ромбС пояснением
Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O.1) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому BO = OD.
2) По условию AC ⟂ BD, значит ∠AOB = ∠AOD = 90°.
3) В треугольниках AOB и AOD сторона AO общая, BO = OD, а углы между этими сторонами равны. Следовательно, △AOB = △AOD по двум сторонам и углу между ними.
4) Поэтому AB = AD. Но в параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и AD = BC. Значит, AB = BC = CD = AD.Все стороны параллелограмма равны, следовательно, он является ромбом.Ответ: параллелограмм с взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом.
Кратко Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O.
1) BO = OD, так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
2) △AOB = △AOD по двум сторонам и углу между ними: AO — общая, BO = OD, ∠AOB = ∠AOD = 90°.
3) Поэтому AB = AD. Вместе с равенством противоположных сторон получаем AB = BC = CD = AD, значит, ABCD — ромб.Ответ: ABCD — ромб.
2) По условию AC ⟂ BD, значит ∠AOB = ∠AOD = 90°.
3) В треугольниках AOB и AOD сторона AO общая, BO = OD, а углы между этими сторонами равны. Следовательно, △AOB = △AOD по двум сторонам и углу между ними.
4) Поэтому AB = AD. Но в параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и AD = BC. Значит, AB = BC = CD = AD.Все стороны параллелограмма равны, следовательно, он является ромбом.Ответ: параллелограмм с взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом.
Кратко Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O.
1) BO = OD, так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
2) △AOB = △AOD по двум сторонам и углу между ними: AO — общая, BO = OD, ∠AOB = ∠AOD = 90°.
3) Поэтому AB = AD. Вместе с равенством противоположных сторон получаем AB = BC = CD = AD, значит, ABCD — ромб.Ответ: ABCD — ромб.
Разбор 2 Доказать, что параллелограмм является ромбом
Доказать, что параллелограмм является ромбомС пояснением
Пусть ABCD — параллелограмм, а диагональ AC делит угол A пополам.1) ∠BAC = ∠CAD, так как AC — биссектриса угла A.
2) ∠CAD = ∠ACB, так как AD ∥ BC, а эти углы — накрест лежащие при секущей AC.
3) Значит, ∠BAC = ∠ACB. Поэтому треугольник ABC равнобедренный и AB = BC.
4) В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD. Следовательно, AB = BC = CD = AD.Ответ: все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.
Кратко Пусть ABCD — параллелограмм, AC — биссектриса угла A.
∠BAC = ∠CAD, а ∠CAD = ∠ACB, так как AD ∥ BC. Значит, ∠BAC = ∠ACB, поэтому AB = BC. Противоположные стороны параллелограмма равны, следовательно, AB = BC = CD = AD.Ответ: ABCD — ромб.
2) ∠CAD = ∠ACB, так как AD ∥ BC, а эти углы — накрест лежащие при секущей AC.
3) Значит, ∠BAC = ∠ACB. Поэтому треугольник ABC равнобедренный и AB = BC.
4) В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD. Следовательно, AB = BC = CD = AD.Ответ: все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.
Кратко Пусть ABCD — параллелограмм, AC — биссектриса угла A.
∠BAC = ∠CAD, а ∠CAD = ∠ACB, так как AD ∥ BC. Значит, ∠BAC = ∠ACB, поэтому AB = BC. Противоположные стороны параллелограмма равны, следовательно, AB = BC = CD = AD.Ответ: ABCD — ромб.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равновеликость треугольников CDE и BDFС пояснением
1) Треугольники CDE и FDE имеют общее основание DE. Их вершины C и F лежат на прямой AC, параллельной DE. Значит, высоты этих треугольников равны, поэтому S(CDE) = S(FDE).
2) Треугольники BDF и EDF имеют общее основание DF. Их вершины B и E лежат на прямой AB, параллельной DF. Следовательно, их высоты равны, поэтому S(BDF) = S(EDF).
3) Таким образом, S(CDE) = S(DEF) = S(BDF).
Ответ: треугольники CDE и BDF равновеликие.
Кратко Треугольники CDE и FDE равновеликие: у них общее основание DE, а вершины C и F лежат на прямой, параллельной DE.
Аналогично треугольники BDF и EDF равновеликие: у них общее основание DF, а BE ∥ DF.
Значит, S(CDE) = S(DEF) = S(BDF).
Ответ: треугольники CDE и BDF равновеликие.
2) Треугольники BDF и EDF имеют общее основание DF. Их вершины B и E лежат на прямой AB, параллельной DF. Следовательно, их высоты равны, поэтому S(BDF) = S(EDF).
3) Таким образом, S(CDE) = S(DEF) = S(BDF).
Ответ: треугольники CDE и BDF равновеликие.
Кратко Треугольники CDE и FDE равновеликие: у них общее основание DE, а вершины C и F лежат на прямой, параллельной DE.
Аналогично треугольники BDF и EDF равновеликие: у них общее основание DF, а BE ∥ DF.
Значит, S(CDE) = S(DEF) = S(BDF).
Ответ: треугольники CDE и BDF равновеликие.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.
Задание учебника 2023 года
Через точку D, лежащую на стороне ВС треугольника ABC, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и пересекающие стороны АВ и АС соответственно в точках Е и F. Докажите, что треугольники CDE и BDF равновеликие.
