Упр.513 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Разбор 1 Построить прямую, симметричную a относительно b
Построить прямую, симметричную a относительно bС пояснением
1) Отметим на прямой a две различные точки A и B.
2) Проведём через A перпендикуляр к b. Пусть он пересекает b в точке H. На продолжении AH за точку H отложим HA₁ = HA. Тогда A₁ симметрична A относительно b.
3) Так же построим точку B₁, симметричную B относительно b.
4) Проведём прямую через точки A₁ и B₁. При осевой симметрии прямая переходит в прямую, поэтому A₁B₁ — искомая прямая.Данная окружность с центром O для этого построения не требуется.Ответ: a₁ = A₁B₁.
Кратко 1) Выберем на a две точки A и B.
2) Построим их симметричные образы A₁ и B₁ относительно b.
3) Проведём прямую A₁B₁.Ответ: прямая a₁ = A₁B₁.
2) Проведём через A перпендикуляр к b. Пусть он пересекает b в точке H. На продолжении AH за точку H отложим HA₁ = HA. Тогда A₁ симметрична A относительно b.
3) Так же построим точку B₁, симметричную B относительно b.
4) Проведём прямую через точки A₁ и B₁. При осевой симметрии прямая переходит в прямую, поэтому A₁B₁ — искомая прямая.Данная окружность с центром O для этого построения не требуется.Ответ: a₁ = A₁B₁.
Кратко 1) Выберем на a две точки A и B.
2) Построим их симметричные образы A₁ и B₁ относительно b.
3) Проведём прямую A₁B₁.Ответ: прямая a₁ = A₁B₁.
Разбор 2 Построить отрезок с серединным перпендикуляром b
Построить отрезок с серединным перпендикуляром bС пояснением
1) Найдём точки пересечения прямой a₁ с данной окружностью. Обозначим одну из них C.
2) Из точки C опустим перпендикуляр CH на прямую b.
3) Продолжим прямую CH за точку H и отложим отрезок HA, равный HC. Тогда точка A симметрична точке C относительно прямой b.
4) Так как C лежит на прямой a₁, симметричной прямой a относительно b, то точка A лежит на прямой a.
5) Точка C лежит на окружности, а прямая b перпендикулярна AC и проходит через его середину H. Следовательно, b — серединный перпендикуляр к отрезку AC.Если прямая a₁ пересекает окружность в двух точках, получаются два решения; если касается — одно; если не имеет с окружностью общих точек, построение невозможно.Ответ: искомый отрезок — AC.
Кратко 1) Отметим точку C пересечения прямой a₁ с окружностью.
2) Построим точку A, симметричную C относительно прямой b.
3) Соединим точки A и C. Тогда A лежит на a, C — на окружности, а b является серединным перпендикуляром к AC.Ответ: отрезок AC.
2) Из точки C опустим перпендикуляр CH на прямую b.
3) Продолжим прямую CH за точку H и отложим отрезок HA, равный HC. Тогда точка A симметрична точке C относительно прямой b.
4) Так как C лежит на прямой a₁, симметричной прямой a относительно b, то точка A лежит на прямой a.
5) Точка C лежит на окружности, а прямая b перпендикулярна AC и проходит через его середину H. Следовательно, b — серединный перпендикуляр к отрезку AC.Если прямая a₁ пересекает окружность в двух точках, получаются два решения; если касается — одно; если не имеет с окружностью общих точек, построение невозможно.Ответ: искомый отрезок — AC.
Кратко 1) Отметим точку C пересечения прямой a₁ с окружностью.
2) Построим точку A, симметричную C относительно прямой b.
3) Соединим точки A и C. Тогда A лежит на a, C — на окружности, а b является серединным перпендикуляром к AC.Ответ: отрезок AC.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти периметр и высоту ромбаС пояснением
1) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам:
18 : 2 = 9 (м),
24 : 2 = 12 (м).2) Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:
9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15²,
значит, сторона ромба равна 15 м.3) 15 · 4 = 60 (м) — периметр ромба.4) (18 · 24) : 2 = 216 (м²) — площадь ромба.5) 216 : 15 = 14,4 (м) — высота ромба, то есть расстояние между параллельными сторонами.Ответ: 60 м; 14,4 м.
Кратко 1) 18 : 2 = 9 (м), 24 : 2 = 12 (м) — половины диагоналей.
2) 9² + 12² = 15², поэтому сторона ромба равна 15 м.
3) 15 · 4 = 60 (м) — периметр.
4) (18 · 24) : 2 = 216 (м²) — площадь.
5) 216 : 15 = 14,4 (м) — расстояние между параллельными сторонами.
Ответ: 60 м; 14,4 м.
18 : 2 = 9 (м),
24 : 2 = 12 (м).2) Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:
9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15²,
значит, сторона ромба равна 15 м.3) 15 · 4 = 60 (м) — периметр ромба.4) (18 · 24) : 2 = 216 (м²) — площадь ромба.5) 216 : 15 = 14,4 (м) — высота ромба, то есть расстояние между параллельными сторонами.Ответ: 60 м; 14,4 м.
Кратко 1) 18 : 2 = 9 (м), 24 : 2 = 12 (м) — половины диагоналей.
2) 9² + 12² = 15², поэтому сторона ромба равна 15 м.
3) 15 · 4 = 60 (м) — периметр.
4) (18 · 24) : 2 = 216 (м²) — площадь.
5) 216 : 15 = 14,4 (м) — расстояние между параллельными сторонами.
Ответ: 60 м; 14,4 м.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат.
Задание учебника 2023 года
Диагонали ромба равны 18 м и 24 м. Найдите периметр ромба и расстояние между параллельными сторонами.
