Упр.511 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать существование третьей оси симметрии треугольникаС пояснением
Пусть две оси симметрии треугольника ABC проходят через вершины A и B.1) При отражении относительно оси, проходящей через A, вершины B и C совмещаются. Поэтому AB = AC.
2) При отражении относительно оси, проходящей через B, вершины A и C совмещаются. Поэтому AB = BC.
3) Значит, AB = AC = BC, то есть треугольник ABC равносторонний.
4) Прямая, проходящая через вершину C и середину стороны AB, при отражении совмещает вершины A и B, а вершину C оставляет на месте. Следовательно, она является третьей осью симметрии.Ответ: треугольник имеет третью ось симметрии.
Кратко Каждая ось симметрии треугольника проходит через одну вершину и совмещает две другие. Поэтому из двух осей получаем AB = AC и AB = BC. Значит, AB = AC = BC, треугольник равносторонний. Прямая через C и середину AB является его третьей осью симметрии.Ответ: третья ось симметрии существует.
2) При отражении относительно оси, проходящей через B, вершины A и C совмещаются. Поэтому AB = BC.
3) Значит, AB = AC = BC, то есть треугольник ABC равносторонний.
4) Прямая, проходящая через вершину C и середину стороны AB, при отражении совмещает вершины A и B, а вершину C оставляет на месте. Следовательно, она является третьей осью симметрии.Ответ: треугольник имеет третью ось симметрии.
Кратко Каждая ось симметрии треугольника проходит через одну вершину и совмещает две другие. Поэтому из двух осей получаем AB = AC и AB = BC. Значит, AB = AC = BC, треугольник равносторонний. Прямая через C и середину AB является его третьей осью симметрии.Ответ: третья ось симметрии существует.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Сравнить площади треугольников ABD и ACD
Сравнить площади треугольников ABD и ACDС пояснением
1) В трапеции ABCD основания AD и BC параллельны.
2) Треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD. Их высоты, проведённые из точек B и C к прямой AD, равны, так как B и C лежат на прямой BC, параллельной AD.
3) Треугольники с равными основаниями и равными высотами имеют равные площади.Ответ: S△ABD = S△ACD.
Кратко У треугольников ABD и ACD общее основание AD и равные высоты, так как BC ∥ AD. Поэтому их площади равны.Ответ: S△ABD = S△ACD.
2) Треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD. Их высоты, проведённые из точек B и C к прямой AD, равны, так как B и C лежат на прямой BC, параллельной AD.
3) Треугольники с равными основаниями и равными высотами имеют равные площади.Ответ: S△ABD = S△ACD.
Кратко У треугольников ABD и ACD общее основание AD и равные высоты, так как BC ∥ AD. Поэтому их площади равны.Ответ: S△ABD = S△ACD.
Разбор 2 Сравнить площади треугольников ABO и CDO
Сравнить площади треугольников ABO и CDOС пояснением
1) Так как AB и CD — боковые стороны трапеции, её основания AD и BC параллельны.
2) Треугольники ABC и BCD имеют общее основание BC и равные высоты, поэтому их площади равны.
3) Вычтем из площадей этих треугольников общую площадь треугольника BOC:
S(ABO) = S(CDO).
Ответ: площади треугольников ABO и CDO равны.
Кратко S(ABC) = S(BCD), так как у этих треугольников общее основание BC и равные высоты. Вычитая общую площадь S(BOC), получаем:
S(ABO) = S(CDO).
Ответ: площади равны.
2) Треугольники ABC и BCD имеют общее основание BC и равные высоты, поэтому их площади равны.
3) Вычтем из площадей этих треугольников общую площадь треугольника BOC:
S(ABO) = S(CDO).
Ответ: площади треугольников ABO и CDO равны.
Кратко S(ABC) = S(BCD), так как у этих треугольников общее основание BC и равные высоты. Вычитая общую площадь S(BOC), получаем:
S(ABO) = S(CDO).
Ответ: площади равны.
Разбор 3 Доказать равенство OA · OB = OC · OD
Доказать равенство OA · OB = OC · ODС пояснением
1) Так как AD ∥ BC, то ∠DAO = ∠BCO и ∠ADO = ∠CBO как накрест лежащие углы.
2) Следовательно, треугольники AOD и COB подобны по двум углам.
3) Из подобия следует:
OA : OC = OD : OB.
4) Перемножив крайние и средние члены пропорции, получим:
OA · OB = OC · OD.Ответ: OA · OB = OC · OD, что и требовалось доказать.
Кратко AD ∥ BC, поэтому △AOD ∼ △COB по двум углам. Значит,
OA/OC = OD/OB,
откуда OA · OB = OC · OD.Ответ: равенство доказано.
2) Следовательно, треугольники AOD и COB подобны по двум углам.
3) Из подобия следует:
OA : OC = OD : OB.
4) Перемножив крайние и средние члены пропорции, получим:
OA · OB = OC · OD.Ответ: OA · OB = OC · OD, что и требовалось доказать.
Кратко AD ∥ BC, поэтому △AOD ∼ △COB по двум углам. Значит,
OA/OC = OD/OB,
откуда OA · OB = OC · OD.Ответ: равенство доказано.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.
Задание учебника 2023 года
В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ и CD диагонали пересекаются в точке O.
а) Сравните площади треугольников ABD и ACD.
б) Сравните площади треугольников АВО и СDO.
в) Докажите, что выполняется равенство ОА x ОВ = ОС x OD.
