Упр.509 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что диаметр задаёт ось симметрииС пояснением
1) Пусть прямая a проходит через центр O окружности. Возьмём на окружности произвольную точку A и отразим её относительно прямой a. Получим точку A′.
2) Пусть H — точка пересечения AA′ и a. Тогда AA′ ⟂ a и AH = HA′.
3) Прямоугольные треугольники OHA и OHA′ равны по двум катетам: OH — общий, AH = HA′. Поэтому OA = OA′.
4) Так как OA — радиус окружности, то OA′ тоже равен радиусу. Значит, точка A′ лежит на этой же окружности.
Следовательно, при отражении относительно прямой a каждая точка окружности переходит в точку этой же окружности. Поэтому любая прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии.
Ответ: любая прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии.
Кратко Пусть прямая a проходит через центр O, а A′ — точка, симметричная произвольной точке A окружности относительно a. Если H — середина AA′, то прямоугольные треугольники OHA и OHA′ равны по двум катетам. Поэтому OA = OA′. Так как OA — радиус, точка A′ также лежит на окружности.
Ответ: прямая a является осью симметрии окружности.
2) Пусть H — точка пересечения AA′ и a. Тогда AA′ ⟂ a и AH = HA′.
3) Прямоугольные треугольники OHA и OHA′ равны по двум катетам: OH — общий, AH = HA′. Поэтому OA = OA′.
4) Так как OA — радиус окружности, то OA′ тоже равен радиусу. Значит, точка A′ лежит на этой же окружности.
Следовательно, при отражении относительно прямой a каждая точка окружности переходит в точку этой же окружности. Поэтому любая прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии.
Ответ: любая прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии.
Кратко Пусть прямая a проходит через центр O, а A′ — точка, симметричная произвольной точке A окружности относительно a. Если H — середина AA′, то прямоугольные треугольники OHA и OHA′ равны по двум катетам. Поэтому OA = OA′. Так как OA — радиус, точка A′ также лежит на окружности.
Ответ: прямая a является осью симметрии окружности.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать постоянство суммы расстояний до сторонС пояснением
Пусть ABC — равносторонний треугольник со стороной a и высотой h, а точка M лежит внутри него. Обозначим расстояния от M до сторон треугольника через x, y и z.1) Отрезки MA, MB и MC делят треугольник ABC на три треугольника. Их основания равны a, а высоты равны x, y и z.2) Сумма площадей этих треугольников равна площади треугольника ABC:
(a · x) : 2 + (a · y) : 2 + (a · z) : 2 = (a · h) : 2.3) Вынесем общий множитель:
a · (x + y + z) : 2 = a · h : 2.
Значит, x + y + z = h.Высота h равностороннего треугольника постоянна, поэтому сумма расстояний от внутренней точки до его сторон не зависит от положения точки.Ответ: сумма расстояний равна высоте равностороннего треугольника.
Кратко Пусть сторона равностороннего треугольника равна a, его высота — h, а расстояния от внутренней точки до сторон — x, y и z.По сложению площадей трёх получившихся треугольников:
(a · x) : 2 + (a · y) : 2 + (a · z) : 2 = (a · h) : 2,
откуда x + y + z = h.Ответ: сумма расстояний постоянна и равна высоте треугольника.
(a · x) : 2 + (a · y) : 2 + (a · z) : 2 = (a · h) : 2.3) Вынесем общий множитель:
a · (x + y + z) : 2 = a · h : 2.
Значит, x + y + z = h.Высота h равностороннего треугольника постоянна, поэтому сумма расстояний от внутренней точки до его сторон не зависит от положения точки.Ответ: сумма расстояний равна высоте равностороннего треугольника.
Кратко Пусть сторона равностороннего треугольника равна a, его высота — h, а расстояния от внутренней точки до сторон — x, y и z.По сложению площадей трёх получившихся треугольников:
(a · x) : 2 + (a · y) : 2 + (a · z) : 2 = (a · h) : 2,
откуда x + y + z = h.Ответ: сумма расстояний постоянна и равна высоте треугольника.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен 45°.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.
