Упр.498 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать постоянство периметра AMN и угла MONС пояснением
1) Из одной точки к окружности проведены равные касательные, поэтому MB = MX и NC = NX. Следовательно,
PAMN = AM + MN + AN = AM + MX + XN + AN = AM + MB + AN + NC = AB + AC.
Но AB = AC как касательные, проведённые из точки A. Значит, PAMN = 2AB и не зависит от положения точки X.2) Треугольники OBM и OXM равны: OB = OX как радиусы, MB = MX как отрезки касательных, OM — общая сторона. Поэтому ∠BOM = ∠MOX, то есть OM делит угол BOX пополам.Аналогично треугольники OXN и OCN равны, поэтому ∠XON = ∠NOC и ON делит угол XOC пополам.Следовательно,
∠MON = ∠MOX + ∠XON = 1/2∠BOX + 1/2∠XOC = 1/2∠BOC.
Угол BOC постоянен, поэтому угол MON также не зависит от выбора точки X.Кроме того, OB ⟂ AB и OC ⟂ AC, поэтому ∠BOC + ∠BAC = 180°. Значит,
∠MON = 1/2∠BOC = 90° − 1/2∠BAC.Ответ: PAMN = 2AB; ∠MON = 1/2∠BOC = 90° − 1/2∠BAC, поэтому обе величины постоянны.
Кратко MB = MX и NC = NX как отрезки касательных. Поэтому
PAMN = AM + MX + XN + AN = AB + AC = 2AB.Из равенства треугольников OBM и OXM следует, что OM — биссектриса угла BOX. Аналогично ON — биссектриса угла XOC. Значит,
∠MON = 1/2∠BOC = 90° − 1/2∠BAC.Ответ: PAMN = 2AB, ∠MON = 1/2∠BOC; обе величины не зависят от выбора X.
PAMN = AM + MN + AN = AM + MX + XN + AN = AM + MB + AN + NC = AB + AC.
Но AB = AC как касательные, проведённые из точки A. Значит, PAMN = 2AB и не зависит от положения точки X.2) Треугольники OBM и OXM равны: OB = OX как радиусы, MB = MX как отрезки касательных, OM — общая сторона. Поэтому ∠BOM = ∠MOX, то есть OM делит угол BOX пополам.Аналогично треугольники OXN и OCN равны, поэтому ∠XON = ∠NOC и ON делит угол XOC пополам.Следовательно,
∠MON = ∠MOX + ∠XON = 1/2∠BOX + 1/2∠XOC = 1/2∠BOC.
Угол BOC постоянен, поэтому угол MON также не зависит от выбора точки X.Кроме того, OB ⟂ AB и OC ⟂ AC, поэтому ∠BOC + ∠BAC = 180°. Значит,
∠MON = 1/2∠BOC = 90° − 1/2∠BAC.Ответ: PAMN = 2AB; ∠MON = 1/2∠BOC = 90° − 1/2∠BAC, поэтому обе величины постоянны.
Кратко MB = MX и NC = NX как отрезки касательных. Поэтому
PAMN = AM + MX + XN + AN = AB + AC = 2AB.Из равенства треугольников OBM и OXM следует, что OM — биссектриса угла BOX. Аналогично ON — биссектриса угла XOC. Значит,
∠MON = 1/2∠BOC = 90° − 1/2∠BAC.Ответ: PAMN = 2AB, ∠MON = 1/2∠BOC; обе величины не зависят от выбора X.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Определить, какие треугольники прямоугольныеС пояснением
Используем теорему, обратную теореме Пифагора: если квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.а) 6² + 8² = 36 + 64 = 100, 10² = 100. Равенство выполняется, треугольник прямоугольный.б) 5² + 6² = 25 + 36 = 61, 7² = 49. Равенство не выполняется, треугольник не прямоугольный.в) 9² + 12² = 81 + 144 = 225, 15² = 225. Равенство выполняется, треугольник прямоугольный.г) 10² + 24² = 100 + 576 = 676, 26² = 676. Равенство выполняется, треугольник прямоугольный.д) 3² + 4² = 9 + 16 = 25, 6² = 36. Равенство не выполняется, треугольник не прямоугольный.е) 9² + 11² = 81 + 121 = 202, 13² = 169. Равенство не выполняется, треугольник не прямоугольный.ж) 15² + 20² = 225 + 400 = 625, 25² = 625. Равенство выполняется, треугольник прямоугольный.Ответ: а), в), г), ж) — прямоугольные; б), д), е) — не прямоугольные.
Кратко Сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
а) 6² + 8² = 10² — да;
б) 5² + 6² ≠ 7² — нет;
в) 9² + 12² = 15² — да;
г) 10² + 24² = 26² — да;
д) 3² + 4² ≠ 6² — нет;
е) 9² + 11² ≠ 13² — нет;
ж) 15² + 20² = 25² — да.Ответ: а), в), г), ж) — прямоугольные; б), д), е) — не прямоугольные.
Кратко Сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
а) 6² + 8² = 10² — да;
б) 5² + 6² ≠ 7² — нет;
в) 9² + 12² = 15² — да;
г) 10² + 24² = 26² — да;
д) 3² + 4² ≠ 6² — нет;
е) 9² + 11² ≠ 13² — нет;
ж) 15² + 20² = 25² — да.Ответ: а), в), г), ж) — прямоугольные; б), д), е) — не прямоугольные.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Даны острый угол hk и два отрезка P1Q1 и P2Q2. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы расстояние между параллельными прямыми АВ и DC равнялось P1Q1, AB = P2Q2 и угол A = угол hk.
Задание учебника 2023 года
Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами: а) 6, 8, 10; б) 5, 6, 7; в) 9, 12, 15; г) 10, 24, 26; д) 3, 4, 6; е) 11, 9, 13; ж) 15, 20, 25. В каждом случае ответ обоснуйте.
