Упр.440 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти угол между касательной и хордойС пояснением
Пусть O — центр окружности, AB — хорда, а прямая AC — касательная в точке A.1) OA = OB как радиусы окружности. По условию AB также равна радиусу, поэтому треугольник AOB равносторонний и ∠OAB = 60°.
2) Радиус OA перпендикулярен касательной AC, поэтому ∠OAC = 90°.
3) ∠BAC = 90° − 60° = 30° — угол между касательной и хордой.Ответ: 30°.
Кратко OA = OB = AB, поэтому треугольник AOB равносторонний и ∠OAB = 60°. Радиус OA перпендикулярен касательной, значит искомый угол равен 90° − 60° = 30°.Ответ: 30°.
2) Радиус OA перпендикулярен касательной AC, поэтому ∠OAC = 90°.
3) ∠BAC = 90° − 60° = 30° — угол между касательной и хордой.Ответ: 30°.
Кратко OA = OB = AB, поэтому треугольник AOB равносторонний и ∠OAB = 60°. Радиус OA перпендикулярен касательной, значит искомый угол равен 90° − 60° = 30°.Ответ: 30°.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что отрезок равен удвоенной медианеС пояснением
Пусть ABC — данный треугольник, на сторонах AB и AC вне треугольника построены квадраты, а D и E — концы их сторон, выходящих из вершины A. Пусть AM — медиана треугольника ABC.1) На луче AM за точкой M отметим точку F так, чтобы MF = AM. Тогда M — середина отрезков AF и BC. Поэтому четырёхугольник ABFC — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам.2) Из свойств параллелограмма:
BF = AC, BF ∥ AC.
Из свойств квадратов:
AD = AB, AE = AC, AD ⟂ AB, AE ⟂ AC.
Следовательно, AE = BF.3) Углы DAE и ABF равны: каждый из них дополняет угол BAC до 180°, так как стороны AD и AE перпендикулярны соответственно AB и AC, а BF ∥ AC.4) Треугольники DAE и ABF равны по двум сторонам и углу между ними:
AD = AB, AE = BF, ∠DAE = ∠ABF.
Значит, DE = AF.5) Так как AM = MF, то AF = 2AM. Следовательно, DE = 2AM.Ответ: отрезок DE в два раза больше медианы AM.
Кратко Пусть AM — медиана, а D и E — концы сторон квадратов, выходящих из вершины A. Продолжим AM до точки F так, чтобы AM = MF. Тогда ABFC — параллелограмм.Имеем AD = AB, AE = AC = BF и ∠DAE = ∠ABF. Поэтому △DAE = △ABF, откуда DE = AF. Но AF = 2AM, следовательно, DE = 2AM.Ответ: DE = 2AM.
BF = AC, BF ∥ AC.
Из свойств квадратов:
AD = AB, AE = AC, AD ⟂ AB, AE ⟂ AC.
Следовательно, AE = BF.3) Углы DAE и ABF равны: каждый из них дополняет угол BAC до 180°, так как стороны AD и AE перпендикулярны соответственно AB и AC, а BF ∥ AC.4) Треугольники DAE и ABF равны по двум сторонам и углу между ними:
AD = AB, AE = BF, ∠DAE = ∠ABF.
Значит, DE = AF.5) Так как AM = MF, то AF = 2AM. Следовательно, DE = 2AM.Ответ: отрезок DE в два раза больше медианы AM.
Кратко Пусть AM — медиана, а D и E — концы сторон квадратов, выходящих из вершины A. Продолжим AM до точки F так, чтобы AM = MF. Тогда ABFC — параллелограмм.Имеем AD = AB, AE = AC = BF и ∠DAE = ∠ABF. Поэтому △DAE = △ABF, откуда DE = AF. Но AF = 2AM, следовательно, DE = 2AM.Ответ: DE = 2AM.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный.
Задание учебника 2023 года
На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.
