Упр.439 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство отрезков AB и CDС пояснением
Обозначим вершину угла буквой K.1) Отрезки KA и KD — касательные к первой окружности, проведённые из одной точки K, поэтому KA = KD.2) Отрезки KB и KC — касательные ко второй окружности, проведённые из той же точки K, поэтому KB = KC.3) На сторонах угла AB = |KB − KA|, а CD = |KC − KD|. Так как KB = KC и KA = KD, то AB = CD.Ответ: AB = CD, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть K — вершина угла. По свойству касательных, проведённых из одной точки:
KA = KD, KB = KC.
Тогда AB = |KB − KA| = |KC − KD| = CD.Ответ: AB = CD.
Кратко Пусть K — вершина угла. По свойству касательных, проведённых из одной точки:
KA = KD, KB = KC.
Тогда AB = |KB − KA| = |KC − KD| = CD.Ответ: AB = CD.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенство отрезка полуразности основанийС пояснением
Пусть основания трапеции ABCD — AD и BC, причём AD > BC, а ∠A + ∠D = 90°. Обозначим середины оснований AD и BC через M и N.1) Опустим перпендикуляры BE и CF на AD. Тогда BE = CF. Обозначим AE = x, FD = y, BE = CF = h.2) Так как ∠ABE = 90° − ∠A = ∠D, прямоугольные треугольники ABE и DCF подобны. Поэтому
x : h = h : y,
то есть h² = xy.3) Опустим из N перпендикуляр NH на AD. Поскольку N — середина BC, точка H — середина EF. Поэтому
MH = |x − y|/2,
NH = h.4) По теореме Пифагора для треугольника MHN:
MN² = MH² + NH² = (x − y)²/4 + xy = (x + y)²/4.
Следовательно, MN = (x + y)/2.5) Так как EF = BC, то
AD − BC = AE + FD = x + y.
Значит,
MN = (AD − BC)/2.Ответ: отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.
Кратко Пусть M и N — середины оснований AD и BC. Опустим BE ⟂ AD и CF ⟂ AD; положим AE = x, FD = y, BE = CF = h.Из ∠A + ∠D = 90° следует, что прямоугольные треугольники ABE и DCF подобны, поэтому h² = xy.Если NH ⟂ AD, то MH = |x − y|/2. Тогда
MN² = h² + MH² = xy + (x − y)²/4 = (x + y)²/4,
откуда MN = (x + y)/2.Но x + y = AD − BC. Следовательно,
MN = (AD − BC)/2.Ответ: MN = (AD − BC)/2.
x : h = h : y,
то есть h² = xy.3) Опустим из N перпендикуляр NH на AD. Поскольку N — середина BC, точка H — середина EF. Поэтому
MH = |x − y|/2,
NH = h.4) По теореме Пифагора для треугольника MHN:
MN² = MH² + NH² = (x − y)²/4 + xy = (x + y)²/4.
Следовательно, MN = (x + y)/2.5) Так как EF = BC, то
AD − BC = AE + FD = x + y.
Значит,
MN = (AD − BC)/2.Ответ: отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.
Кратко Пусть M и N — середины оснований AD и BC. Опустим BE ⟂ AD и CF ⟂ AD; положим AE = x, FD = y, BE = CF = h.Из ∠A + ∠D = 90° следует, что прямоугольные треугольники ABE и DCF подобны, поэтому h² = xy.Если NH ⟂ AD, то MH = |x − y|/2. Тогда
MN² = h² + MH² = xy + (x − y)²/4 = (x + y)²/4,
откуда MN = (x + y)/2.Но x + y = AD − BC. Следовательно,
MN = (AD − BC)/2.Ответ: MN = (AD − BC)/2.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.
Задание учебника 2023 года
Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.
