Упр.411 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Разбор 1 Построить прямую, симметричную a относительно b
Построить прямую, симметричную a относительно bС пояснением
1) Отметим на прямой a две различные точки A и B.
2) Проведём через A перпендикуляр к b. Пусть он пересекает b в точке H. На продолжении AH за точку H отложим HA₁ = HA. Тогда A₁ симметрична A относительно b.
3) Так же построим точку B₁, симметричную B относительно b.
4) Проведём прямую через точки A₁ и B₁. При осевой симметрии прямая переходит в прямую, поэтому A₁B₁ — искомая прямая.Данная окружность с центром O для этого построения не требуется.Ответ: a₁ = A₁B₁.
Кратко 1) Выберем на a две точки A и B.
2) Построим их симметричные образы A₁ и B₁ относительно b.
3) Проведём прямую A₁B₁.Ответ: прямая a₁ = A₁B₁.
2) Проведём через A перпендикуляр к b. Пусть он пересекает b в точке H. На продолжении AH за точку H отложим HA₁ = HA. Тогда A₁ симметрична A относительно b.
3) Так же построим точку B₁, симметричную B относительно b.
4) Проведём прямую через точки A₁ и B₁. При осевой симметрии прямая переходит в прямую, поэтому A₁B₁ — искомая прямая.Данная окружность с центром O для этого построения не требуется.Ответ: a₁ = A₁B₁.
Кратко 1) Выберем на a две точки A и B.
2) Построим их симметричные образы A₁ и B₁ относительно b.
3) Проведём прямую A₁B₁.Ответ: прямая a₁ = A₁B₁.
Разбор 2 Построить отрезок с серединным перпендикуляром b
Построить отрезок с серединным перпендикуляром bС пояснением
1) Найдём точки пересечения прямой a₁ с данной окружностью. Обозначим одну из них C.
2) Из точки C опустим перпендикуляр CH на прямую b.
3) Продолжим прямую CH за точку H и отложим отрезок HA, равный HC. Тогда точка A симметрична точке C относительно прямой b.
4) Так как C лежит на прямой a₁, симметричной прямой a относительно b, то точка A лежит на прямой a.
5) Точка C лежит на окружности, а прямая b перпендикулярна AC и проходит через его середину H. Следовательно, b — серединный перпендикуляр к отрезку AC.Если прямая a₁ пересекает окружность в двух точках, получаются два решения; если касается — одно; если не имеет с окружностью общих точек, построение невозможно.Ответ: искомый отрезок — AC.
Кратко 1) Отметим точку C пересечения прямой a₁ с окружностью.
2) Построим точку A, симметричную C относительно прямой b.
3) Соединим точки A и C. Тогда A лежит на a, C — на окружности, а b является серединным перпендикуляром к AC.Ответ: отрезок AC.
2) Из точки C опустим перпендикуляр CH на прямую b.
3) Продолжим прямую CH за точку H и отложим отрезок HA, равный HC. Тогда точка A симметрична точке C относительно прямой b.
4) Так как C лежит на прямой a₁, симметричной прямой a относительно b, то точка A лежит на прямой a.
5) Точка C лежит на окружности, а прямая b перпендикулярна AC и проходит через его середину H. Следовательно, b — серединный перпендикуляр к отрезку AC.Если прямая a₁ пересекает окружность в двух точках, получаются два решения; если касается — одно; если не имеет с окружностью общих точек, построение невозможно.Ответ: искомый отрезок — AC.
Кратко 1) Отметим точку C пересечения прямой a₁ с окружностью.
2) Построим точку A, симметричную C относительно прямой b.
3) Соединим точки A и C. Тогда A лежит на a, C — на окружности, а b является серединным перпендикуляром к AC.Ответ: отрезок AC.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что полученный четырёхугольник — квадратС пояснением
Обозначим прямоугольный треугольник ABC, где ∠A = 90°, а точку пересечения биссектрисы AD с гипотенузой BC — D. Через D проведём DE ∥ AC и DF ∥ AB, где E лежит на AB, а F — на AC.1) Так как AB ⟂ AC, то AE ⟂ AF. Из DE ∥ AF и DF ∥ AE следует, что все углы четырёхугольника AEDF прямые. Значит, AEDF — прямоугольник.
2) Рассмотрим треугольники AED и AFD. У них AD — общая сторона, ∠EAD = ∠DAF, так как AD — биссектриса, и ∠AED = ∠AFD = 90°. Следовательно, треугольники AED и AFD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
3) Поэтому AE = AF. Прямоугольник, у которого соседние стороны равны, является квадратом.Ответ: четырёхугольник AEDF — квадрат.
Кратко Пусть ∠A = 90°, AD — биссектриса, DE ∥ AC, DF ∥ AB. Тогда в четырёхугольнике AEDF все углы прямые, поэтому он является прямоугольником.Треугольники AED и AFD равны по стороне AD и двум прилежащим к ней углам: ∠EAD = ∠DAF, ∠AED = ∠AFD = 90°. Значит, AE = AF. Следовательно, прямоугольник AEDF с равными соседними сторонами — квадрат.Ответ: AEDF — квадрат.
2) Рассмотрим треугольники AED и AFD. У них AD — общая сторона, ∠EAD = ∠DAF, так как AD — биссектриса, и ∠AED = ∠AFD = 90°. Следовательно, треугольники AED и AFD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
3) Поэтому AE = AF. Прямоугольник, у которого соседние стороны равны, является квадратом.Ответ: четырёхугольник AEDF — квадрат.
Кратко Пусть ∠A = 90°, AD — биссектриса, DE ∥ AC, DF ∥ AB. Тогда в четырёхугольнике AEDF все углы прямые, поэтому он является прямоугольником.Треугольники AED и AFD равны по стороне AD и двум прилежащим к ней углам: ∠EAD = ∠DAF, ∠AED = ∠AFD = 90°. Значит, AE = AF. Следовательно, прямоугольник AEDF с равными соседними сторонами — квадрат.Ответ: AEDF — квадрат.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Даны прямые а, b и окружность с центром О. а) Постройте прямую а_1, симметричную прямой а относительно прямой b. б) Используя прямую a_1 постройте отрезок так, чтобы прямая b была серединным перпендикуляром к этому отрезку и чтобы концы этого отрезка лежали соответственно на прямой а и данной окружности.
а) 1) Отметим на прямой a произвольные точки A и B;
2) Отметим точки A_1 и B_1 симметрично точкам A и B;
3) Проведем прямую a_1 через данные точки A_1 и B_1;
б) 1) Отметим точку на пересечении окружности и a_1;
2) Из точки A опустим перпендикуляр на прямую b;
3) Отметим точку B на его пересечении с прямой a;
4) Построим отрезок с концами в точках A и B.
Задание учебника 2023 года
В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат.
