Упр.405 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что высота является осью симметрииС пояснением
Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием BC, AB = AC, а AD — высота.1) Рассмотрим прямоугольные треугольники ABD и ACD. У них гипотенузы AB и AC равны, а катет AD — общий. Значит, треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе и катету.
2) Из равенства треугольников следует, что BD = DC. Кроме того, AD ⟂ BC. Поэтому точки B и C симметричны относительно прямой AD.
3) Точки A и D лежат на прямой AD и при симметрии остаются на месте. Следовательно, при симметрии относительно AD стороны AB и AC меняются местами, а основание BC переходит в себя.Ответ: прямая AD является осью симметрии равнобедренного треугольника ABC.
Кратко Пусть AB = AC, а AD — высота к основанию BC. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе и катету, поэтому BD = DC. Так как AD ⟂ BC, точки B и C симметричны относительно AD, а точка A лежит на AD.Ответ: прямая AD — ось симметрии треугольника ABC.
2) Из равенства треугольников следует, что BD = DC. Кроме того, AD ⟂ BC. Поэтому точки B и C симметричны относительно прямой AD.
3) Точки A и D лежат на прямой AD и при симметрии остаются на месте. Следовательно, при симметрии относительно AD стороны AB и AC меняются местами, а основание BC переходит в себя.Ответ: прямая AD является осью симметрии равнобедренного треугольника ABC.
Кратко Пусть AB = AC, а AD — высота к основанию BC. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе и катету, поэтому BD = DC. Так как AD ⟂ BC, точки B и C симметричны относительно AD, а точка A лежит на AD.Ответ: прямая AD — ось симметрии треугольника ABC.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти углы ромба и углы диагоналей со сторонамиС пояснением
Пусть в ромбе ABCD диагональ AC равна стороне AB.1) Так как все стороны ромба равны, AB = BC. По условию AC = AB. Значит, AB = BC = AC, поэтому треугольник ABC равносторонний и каждый его угол равен 60°.2) Следовательно, угол B ромба равен 60°. Противоположный ему угол D также равен 60°, а соседние углы ромба равны:
180° − 60° = 120°.
Значит, ∠A = ∠C = 120°.3) Диагонали ромба делят его углы пополам. Поэтому диагональ AC образует со сторонами углы:
120° : 2 = 60°,
а диагональ BD:
60° : 2 = 30°.Ответ: а) 60°, 120°, 60°, 120°; б) диагональ, равная стороне, образует со сторонами углы 60°, другая диагональ — углы 30°.
Кратко Пусть AC равна стороне ромба ABCD. Тогда треугольник ABC равносторонний.а) ∠B = ∠D = 60°, ∠A = ∠C = 120°.
б) Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому AC образует со сторонами углы 60°, а BD — углы 30°.Ответ: а) 60° и 120°; б) 60° и 30°.
180° − 60° = 120°.
Значит, ∠A = ∠C = 120°.3) Диагонали ромба делят его углы пополам. Поэтому диагональ AC образует со сторонами углы:
120° : 2 = 60°,
а диагональ BD:
60° : 2 = 30°.Ответ: а) 60°, 120°, 60°, 120°; б) диагональ, равная стороне, образует со сторонами углы 60°, другая диагональ — углы 30°.
Кратко Пусть AC равна стороне ромба ABCD. Тогда треугольник ABC равносторонний.а) ∠B = ∠D = 60°, ∠A = ∠C = 120°.
б) Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому AC образует со сторонами углы 60°, а BD — углы 30°.Ответ: а) 60° и 120°; б) 60° и 30°.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что прямая, содержащая высоту равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является его осью симметрии.
Пусть треугольник ABC-равнобедренный и BH-высота, тогда отрезок BH также является медианой, откуда следует AH=HC, то есть относительно прямой BH вершины A > C,C > A и B > B, что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.
