Упр.408 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2023)
Решение #3 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Доказать, что параллелограмм с перпендикулярными диагоналями — ромб
Доказать, что параллелограмм с перпендикулярными диагоналями — ромбС пояснением
Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O.1) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому BO = OD.
2) По условию AC ⟂ BD, значит ∠AOB = ∠AOD = 90°.
3) В треугольниках AOB и AOD сторона AO общая, BO = OD, а углы между этими сторонами равны. Следовательно, △AOB = △AOD по двум сторонам и углу между ними.
4) Поэтому AB = AD. Но в параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и AD = BC. Значит, AB = BC = CD = AD.Все стороны параллелограмма равны, следовательно, он является ромбом.Ответ: параллелограмм с взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом.
Кратко Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O.
1) BO = OD, так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
2) △AOB = △AOD по двум сторонам и углу между ними: AO — общая, BO = OD, ∠AOB = ∠AOD = 90°.
3) Поэтому AB = AD. Вместе с равенством противоположных сторон получаем AB = BC = CD = AD, значит, ABCD — ромб.Ответ: ABCD — ромб.
2) По условию AC ⟂ BD, значит ∠AOB = ∠AOD = 90°.
3) В треугольниках AOB и AOD сторона AO общая, BO = OD, а углы между этими сторонами равны. Следовательно, △AOB = △AOD по двум сторонам и углу между ними.
4) Поэтому AB = AD. Но в параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и AD = BC. Значит, AB = BC = CD = AD.Все стороны параллелограмма равны, следовательно, он является ромбом.Ответ: параллелограмм с взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом.
Кратко Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O.
1) BO = OD, так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
2) △AOB = △AOD по двум сторонам и углу между ними: AO — общая, BO = OD, ∠AOB = ∠AOD = 90°.
3) Поэтому AB = AD. Вместе с равенством противоположных сторон получаем AB = BC = CD = AD, значит, ABCD — ромб.Ответ: ABCD — ромб.
Разбор 2 Доказать, что параллелограмм является ромбом
Доказать, что параллелограмм является ромбомС пояснением
Пусть ABCD — параллелограмм, а диагональ AC делит угол A пополам.1) ∠BAC = ∠CAD, так как AC — биссектриса угла A.
2) ∠CAD = ∠ACB, так как AD ∥ BC, а эти углы — накрест лежащие при секущей AC.
3) Значит, ∠BAC = ∠ACB. Поэтому треугольник ABC равнобедренный и AB = BC.
4) В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD. Следовательно, AB = BC = CD = AD.Ответ: все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.
Кратко Пусть ABCD — параллелограмм, AC — биссектриса угла A.
∠BAC = ∠CAD, а ∠CAD = ∠ACB, так как AD ∥ BC. Значит, ∠BAC = ∠ACB, поэтому AB = BC. Противоположные стороны параллелограмма равны, следовательно, AB = BC = CD = AD.Ответ: ABCD — ромб.
2) ∠CAD = ∠ACB, так как AD ∥ BC, а эти углы — накрест лежащие при секущей AC.
3) Значит, ∠BAC = ∠ACB. Поэтому треугольник ABC равнобедренный и AB = BC.
4) В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD. Следовательно, AB = BC = CD = AD.Ответ: все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.
Кратко Пусть ABCD — параллелограмм, AC — биссектриса угла A.
∠BAC = ∠CAD, а ∠CAD = ∠ACB, так как AD ∥ BC. Значит, ∠BAC = ∠ACB, поэтому AB = BC. Противоположные стороны параллелограмма равны, следовательно, AB = BC = CD = AD.Ответ: ABCD — ромб.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Точка пересечения двух равных хорд принадлежит некоторому диаметру. Докажите, что эти хорды симметричны относительно прямой, содержащей этот диаметр.
Равные хорды окружности равноудалены от центра, значит для OE перпендикулярно AB и OF перпендикулярно CD верно OE=OF,тогда по гипотенузе и катету треугольник OEK=треугольник OFK и EK=KF,по свойству хорды AE=BE=CF=DF и OA=OD=R, треугольники AOK и DOK равны по трем сторонам, а значит их высоты также равны,поэтому A > D, аналогично C > B,что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.
