Упр.410 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить прямую и отрезок симметрично относительно pС пояснением
1) Отметим на прямой b две точки C и D. Построим точки C₁ и D₁, симметричные им относительно прямой p: проведём перпендикуляры к p и отложим с другой стороны от p равные расстояния.
2) Проведём прямую b₁ через точки C₁ и D₁. Она симметрична прямой b относительно p.
3) Если прямые a и b₁ пересекаются, обозначим их точку пересечения A. Построим точку B, симметричную A относительно p. Тогда B лежит на b, а прямая p является осью симметрии отрезка AB.
4) Если a и b₁ — различные параллельные прямые, искомого отрезка не существует. Если a и b₁ совпадают, можно выбрать любую точку A на этой прямой и построить симметричную ей точку B. Лучше выбрать A вне p, чтобы получить ненулевой отрезок. Если общая прямая совпадает с p, возможен только случай A = B.
Ответ: искомый отрезок — AB, где A ∈ a ∩ b₁, а B симметрична A относительно p.
Кратко Построим образы C₁ и D₁ двух точек C, D прямой b относительно p. Прямая C₁D₁ и есть b₁.
Если A = a ∩ b₁, отразим A относительно p и получим B ∈ b. Тогда AB — искомый отрезок.
При a ∥ b₁ решения нет; при a = b₁ точку A можно выбрать произвольно вне p. Если общая прямая совпадает с p, получается только A = B.
Ответ: AB, где точки A и B симметричны относительно p.
2) Проведём прямую b₁ через точки C₁ и D₁. Она симметрична прямой b относительно p.
3) Если прямые a и b₁ пересекаются, обозначим их точку пересечения A. Построим точку B, симметричную A относительно p. Тогда B лежит на b, а прямая p является осью симметрии отрезка AB.
4) Если a и b₁ — различные параллельные прямые, искомого отрезка не существует. Если a и b₁ совпадают, можно выбрать любую точку A на этой прямой и построить симметричную ей точку B. Лучше выбрать A вне p, чтобы получить ненулевой отрезок. Если общая прямая совпадает с p, возможен только случай A = B.
Ответ: искомый отрезок — AB, где A ∈ a ∩ b₁, а B симметрична A относительно p.
Кратко Построим образы C₁ и D₁ двух точек C, D прямой b относительно p. Прямая C₁D₁ и есть b₁.
Если A = a ∩ b₁, отразим A относительно p и получим B ∈ b. Тогда AB — искомый отрезок.
При a ∥ b₁ решения нет; при a = b₁ точку A можно выбрать произвольно вне p. Если общая прямая совпадает с p, получается только A = B.
Ответ: AB, где точки A и B симметричны относительно p.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Определить, является ли четырёхугольник квадратомС пояснением
1) а) Нет. Равные и перпендикулярные диагонали могут не делиться точкой пересечения пополам, поэтому такого условия недостаточно.
2) б) Нет. Если диагонали перпендикулярны и имеют общую середину, может получиться ромб, не являющийся квадратом: его диагонали могут быть неравными.
3) в) Да. Диагонали имеют общую середину, значит, четырёхугольник — параллелограмм. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником, а с перпендикулярными диагоналями — ромбом. Следовательно, он одновременно прямоугольник и ромб, то есть квадрат.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да.
Кратко а) Нет — диагонали могут не делиться пополам.
б) Нет — это может быть ромб с неравными диагоналями.
в) Да — такой четырёхугольник является и прямоугольником, и ромбом, следовательно, квадратом.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да.
2) б) Нет. Если диагонали перпендикулярны и имеют общую середину, может получиться ромб, не являющийся квадратом: его диагонали могут быть неравными.
3) в) Да. Диагонали имеют общую середину, значит, четырёхугольник — параллелограмм. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником, а с перпендикулярными диагоналями — ромбом. Следовательно, он одновременно прямоугольник и ромб, то есть квадрат.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да.
Кратко а) Нет — диагонали могут не делиться пополам.
б) Нет — это может быть ромб с неравными диагоналями.
в) Да — такой четырёхугольник является и прямоугольником, и ромбом, следовательно, квадратом.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Даны три прямые a, b, p. а) Постройте прямую b_1, симметричную прямой b относительно прямой р. б) Пользуясь прямой b_1, постройте отрезок так, чтобы его концы лежали соответственно на прямых a и b и чтобы прямая р была осью симметрии отрезка.
а) 1) Отметим на прямой b произвольные точки A и B;
2) Отметим точки A_1 и B_1 симметрично точкам A и B;
3) Проведем прямую b_1 через данные точки A_1 и B_1;
б) 1) Отметим точку A на пересечении прямых a и b_1;
2) Из точки A опустим перпендикуляр на прямую p;
3) Отметим точку B на его пересечении с прямой b;
4) Построим отрезок с концами в точках A и B.
Задание учебника 2023 года
Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?
