Упр.404 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Докажите перпендикулярность симметричных прямыхС пояснением
1) Пусть прямые b и c перпендикулярны и пересекаются в точке O. При симметрии относительно прямой a они переходят соответственно в прямые b₁ и c₁, а точка O — в точку O₁.
2) Выберем точки B на прямой b и C на прямой c. Их симметричные точки B₁ и C₁ лежат соответственно на прямых b₁ и c₁.
3) Осевая симметрия сохраняет величины углов. Поэтому ∠B₁O₁C₁ = ∠BOC = 90°.
4) Значит, прямые b₁ и c₁ пересекаются под прямым углом, то есть b₁ ⟂ c₁.
Ответ: прямые, симметричные двум данным перпендикулярным прямым относительно прямой a, перпендикулярны.
Кратко Пусть b ⟂ c, а b₁ и c₁ — их образы при симметрии относительно прямой a. Осевая симметрия сохраняет величины углов, поэтому угол между b₁ и c₁ равен углу между b и c, то есть 90°. Следовательно, b₁ ⟂ c₁.
Ответ: симметричные прямые перпендикулярны.
2) Выберем точки B на прямой b и C на прямой c. Их симметричные точки B₁ и C₁ лежат соответственно на прямых b₁ и c₁.
3) Осевая симметрия сохраняет величины углов. Поэтому ∠B₁O₁C₁ = ∠BOC = 90°.
4) Значит, прямые b₁ и c₁ пересекаются под прямым углом, то есть b₁ ⟂ c₁.
Ответ: прямые, симметричные двум данным перпендикулярным прямым относительно прямой a, перпендикулярны.
Кратко Пусть b ⟂ c, а b₁ и c₁ — их образы при симметрии относительно прямой a. Осевая симметрия сохраняет величины углов, поэтому угол между b₁ и c₁ равен углу между b и c, то есть 90°. Следовательно, b₁ ⟂ c₁.
Ответ: симметричные прямые перпендикулярны.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать свойство медианы к гипотенузеС пояснением
Пусть △ABC прямоугольный, ∠C = 90°, а CM — медиана к гипотенузе AB. Значит, AM = MB.1) Продлим CM за точку M и отложим MD = CM.2) △AMC и △BMD равны по двум сторонам и углу между ними: AM = MB, CM = MD, ∠AMC = ∠BMD как вертикальные. Поэтому AC = BD и ∠CAM = ∠DBM. Из равенства накрест лежащих углов следует, что AC ∥ BD.3) Так как AC ⟂ BC, то и BD ⟂ BC. Следовательно, ∠ACB = ∠DBC = 90°.4) △ACB и △DBC равны по двум сторонам и углу между ними: AC = BD, BC — общая сторона, ∠ACB = ∠DBC. Поэтому AB = CD.5) CD = CM + MD = 2CM. Значит, AB = 2CM, откуда CM = AB : 2.Ответ: медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Кратко Пусть CM — медиана к гипотенузе AB. Продлим CM на отрезок MD = CM. Тогда △AMC = △BMD, поэтому AC = BD и AC ∥ BD. Следовательно, ∠ACB = ∠DBC = 90°. Значит, △ACB = △DBC, откуда AB = CD. Но CD = 2CM, поэтому CM = AB : 2.Ответ: CM = AB/2.
Кратко Пусть CM — медиана к гипотенузе AB. Продлим CM на отрезок MD = CM. Тогда △AMC = △BMD, поэтому AC = BD и AC ∥ BD. Следовательно, ∠ACB = ∠DBC = 90°. Значит, △ACB = △DBC, откуда AB = CD. Но CD = 2CM, поэтому CM = AB : 2.Ответ: CM = AB/2.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что прямые, симметричные двум данным перпендикулярным прямым относительно прямой а, перпендикулярны.
Пусть a > a_1 и b > b_1 относительно некоторой прямой, отметим точки A принадлежит a,B принадлежит b и C=anb,тогда угол ACB=90°, по свойству симметрии A_1 B_1=AB,B_1 C_1=BC и A_1 C_1=AC, треугольники A_1 B_1 C_1 и ABC равны по третьему признаку, угол A_1 C_1 B_1=угол ACB=90°,значит данные прямые a_1 и b_1, перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
