Упр.402 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить окружность, касающуюся двух параллельных прямыхС пояснением
Пусть даны параллельные прямые a и b и точка P.1) Проведём перпендикуляр AB к данным прямым: A ∈ a, B ∈ b.
2) Найдём середину M отрезка AB и через M проведём прямую c, параллельную a и b.
3) Построим окружность с центром P и радиусом AM. Пусть она пересекает прямую c в точках O₁ и O₂.
4) Построим окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусом AM.Каждый центр находится на одинаковом расстоянии AM от обеих параллельных прямых, поэтому построенные окружности касаются их. Кроме того, O₁P = O₂P = AM, значит, обе окружности проходят через P.Если вспомогательная окружность не пересекает c, решения нет; если касается c, решение одно; если пересекает в двух точках, решений два.Ответ: окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусом AM.
Кратко 1) Провести общий перпендикуляр AB к данным параллельным прямым.
2) Через середину M отрезка AB провести параллельную им прямую c.
3) Провести окружность с центром в данной точке P и радиусом AM.
4) Точки её пересечения O₁ и O₂ с прямой c — центры искомых окружностей. Их радиус равен AM.Ответ: построить окружности (O₁; AM) и (O₂; AM); в зависимости от расположения P решений может быть два, одно или ни одного.
2) Найдём середину M отрезка AB и через M проведём прямую c, параллельную a и b.
3) Построим окружность с центром P и радиусом AM. Пусть она пересекает прямую c в точках O₁ и O₂.
4) Построим окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусом AM.Каждый центр находится на одинаковом расстоянии AM от обеих параллельных прямых, поэтому построенные окружности касаются их. Кроме того, O₁P = O₂P = AM, значит, обе окружности проходят через P.Если вспомогательная окружность не пересекает c, решения нет; если касается c, решение одно; если пересекает в двух точках, решений два.Ответ: окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусом AM.
Кратко 1) Провести общий перпендикуляр AB к данным параллельным прямым.
2) Через середину M отрезка AB провести параллельную им прямую c.
3) Провести окружность с центром в данной точке P и радиусом AM.
4) Точки её пересечения O₁ и O₂ с прямой c — центры искомых окружностей. Их радиус равен AM.Ответ: построить окружности (O₁; AM) и (O₂; AM); в зависимости от расположения P решений может быть два, одно или ни одного.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равнобедренность треугольников AOD и AOBС пояснением
1) Прямоугольник является параллелограммом, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам: AO = OC и BO = OD.
2) Докажем, что диагонали прямоугольника равны. Треугольники ABD и BAC равны по двум сторонам и углу между ними: AB — общая сторона, AD = BC, ∠DAB = ∠ABC = 90°. Значит, BD = AC.
3) Половины равных диагоналей равны, поэтому AO = BO и AO = DO.
4) Следовательно, △AOB и △AOD равнобедренные.
Ответ: △AOB и △AOD равнобедренные.
Кратко В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому AO = BO = DO. Значит, △AOB и △AOD равнобедренные.
Ответ: △AOB и △AOD равнобедренные.
2) Докажем, что диагонали прямоугольника равны. Треугольники ABD и BAC равны по двум сторонам и углу между ними: AB — общая сторона, AD = BC, ∠DAB = ∠ABC = 90°. Значит, BD = AC.
3) Половины равных диагоналей равны, поэтому AO = BO и AO = DO.
4) Следовательно, △AOB и △AOD равнобедренные.
Ответ: △AOB и △AOD равнобедренные.
Кратко В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому AO = BO = DO. Значит, △AOB и △AOD равнобедренные.
Ответ: △AOB и △AOD равнобедренные.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.
1) Пусть прямые a и b параллельны и дана точка A;
2) Построим перпендикуляр BC к заданным прямым;
3) Построим серединный перпендикуляр к отрезку BC;
4) Отметим точку D на пересечении перпендикуляров;
5) Из точки A проведем окружность радиуса BD или CD;
6) Отметим точку O на пересечении с перпендикуляром;
7) Из точки O проведем окружность с радиусом R=OA.
Задание учебника 2023 года
Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники AOD и АОВ равнобедренные.
