Упр.399 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать вид треугольника по положению центра окружностиС пояснением
Пусть AM — медиана треугольника ABC, M — середина BC, а O — центр описанной окружности. По условию точки A, O и M лежат на одной прямой.1) Так как OB = OC, точка O лежит на серединном перпендикуляре к BC.2) Если O и M — разные точки, то прямая OM является серединным перпендикуляром к BC. Поэтому AM ⟂ BC. Прямоугольные треугольники ABM и ACM равны по двум катетам: AM — общий, BM = CM. Следовательно, AB = AC, то есть треугольник ABC равнобедренный.3) Если O совпадает с M, то MA = MB = MC как радиусы описанной окружности. Обозначим ∠MAB = ∠ABM = α и ∠MAC = ∠ACM = β. Так как B, M и C лежат на одной прямой, получаем α + β = 90°. Но ∠BAC = α + β, значит ∠BAC = 90°. Следовательно, треугольник ABC прямоугольный.Ответ: треугольник ABC либо равнобедренный, либо прямоугольный.
Кратко Пусть AM — медиана, O — центр описанной окружности, M — середина BC.Если O ≠ M, то OM — серединный перпендикуляр к BC. Значит, AM ⟂ BC, а прямоугольные треугольники ABM и ACM равны по двум катетам. Поэтому AB = AC, и треугольник равнобедренный.Если O = M, то MA = MB = MC. Отсюда ∠BAC = 90°, поэтому треугольник прямоугольный.Ответ: треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.
Кратко Пусть AM — медиана, O — центр описанной окружности, M — середина BC.Если O ≠ M, то OM — серединный перпендикуляр к BC. Значит, AM ⟂ BC, а прямоугольные треугольники ABM и ACM равны по двум катетам. Поэтому AB = AC, и треугольник равнобедренный.Если O = M, то MA = MB = MC. Отсюда ∠BAC = 90°, поэтому треугольник прямоугольный.Ответ: треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что параллелограмм с прямым углом — прямоугольникС пояснением
Пусть ABCD — параллелограмм и ∠A = 90°.
1) В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому ∠C = ∠A = 90°.
2) Соседние углы параллелограмма в сумме составляют 180°, поэтому ∠B = 180° − 90° = 90°.
3) Тогда ∠D = ∠B = 90°, так как это противоположные углы.
Все углы параллелограмма ABCD прямые, значит, он является прямоугольником.
Ответ: параллелограмм, имеющий прямой угол, является прямоугольником.
Кратко Пусть в параллелограмме ABCD угол A прямой. Соседние углы параллелограмма дополняют друг друга до 180°, а противоположные углы равны. Поэтому ∠B = ∠C = ∠D = 90°. Значит, ABCD — прямоугольник.
Ответ: доказано.
1) В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому ∠C = ∠A = 90°.
2) Соседние углы параллелограмма в сумме составляют 180°, поэтому ∠B = 180° − 90° = 90°.
3) Тогда ∠D = ∠B = 90°, так как это противоположные углы.
Все углы параллелограмма ABCD прямые, значит, он является прямоугольником.
Ответ: параллелограмм, имеющий прямой угол, является прямоугольником.
Кратко Пусть в параллелограмме ABCD угол A прямой. Соседние углы параллелограмма дополняют друг друга до 180°, а противоположные углы равны. Поэтому ∠B = ∠C = ∠D = 90°. Значит, ABCD — прямоугольник.
Ответ: доказано.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.
Пусть в треугольнике ABC отрезок BD является медианой, центр окружности O принадлежит BD, тогда BD является также и высотой, то есть AB=BC, или точки O и D совпадают, то есть O принадлежит AC и угол B=90°. Что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.
