Упр.397 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что хорда CD — диаметрС пояснением
1) Так как AB — диаметр, то вписанный угол ACB, опирающийся на диаметр, равен 90°.
2) Значит, AC ⟂ BC. По условию BC ∥ AD, поэтому AC ⟂ AD, то есть ∠CAD = 90°.
3) Вписанный угол CAD опирается на хорду CD. Если вписанный угол прямой, то хорда, на которую он опирается, является диаметром.Ответ: CD — диаметр окружности.
Кратко AB — диаметр, поэтому ∠ACB = 90° и AC ⟂ BC. Так как BC ∥ AD, то AC ⟂ AD, следовательно, ∠CAD = 90°. Этот вписанный угол опирается на хорду CD, значит, CD — диаметр.Ответ: CD — диаметр окружности.
2) Значит, AC ⟂ BC. По условию BC ∥ AD, поэтому AC ⟂ AD, то есть ∠CAD = 90°.
3) Вписанный угол CAD опирается на хорду CD. Если вписанный угол прямой, то хорда, на которую он опирается, является диаметром.Ответ: CD — диаметр окружности.
Кратко AB — диаметр, поэтому ∠ACB = 90° и AC ⟂ BC. Так как BC ∥ AD, то AC ⟂ AD, следовательно, ∠CAD = 90°. Этот вписанный угол опирается на хорду CD, значит, CD — диаметр.Ответ: CD — диаметр окружности.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Построить равнобедренную трапецию ABCD
Построить равнобедренную трапецию ABCDС пояснением
1) Построим данное основание AD.
2) В точке A построим данный угол DAB.
3) На втором луче угла отложим отрезок AB, равный данной боковой стороне.
4) В точке D, в той же полуплоскости относительно AD, построим угол ADC, равный углу DAB.
5) На полученном луче отложим DC = AB.
6) Соединим точки B и C.Проведём BE ⟂ AD и CF ⟂ AD. Прямоугольные треугольники ABE и DCF равны по гипотенузе и острому углу: AB = DC, ∠BAE = ∠CDF. Поэтому BE = CF. Значит, точки B и C равноудалены от прямой AD и BC ∥ AD. Следовательно, ABCD — трапеция, а так как AB = CD, она равнобедренная.Ответ: равнобедренная трапеция ABCD построена.
Кратко 1) Построить основание AD и данный угол DAB.
2) На луче угла отложить данную сторону AB.
3) При вершине D построить угол ADC = ∠DAB в той же полуплоскости относительно AD.
4) На его луче отложить DC = AB и соединить B с C.Получим BC ∥ AD и AB = CD, поэтому ABCD — равнобедренная трапеция.Ответ: трапеция ABCD построена.
2) В точке A построим данный угол DAB.
3) На втором луче угла отложим отрезок AB, равный данной боковой стороне.
4) В точке D, в той же полуплоскости относительно AD, построим угол ADC, равный углу DAB.
5) На полученном луче отложим DC = AB.
6) Соединим точки B и C.Проведём BE ⟂ AD и CF ⟂ AD. Прямоугольные треугольники ABE и DCF равны по гипотенузе и острому углу: AB = DC, ∠BAE = ∠CDF. Поэтому BE = CF. Значит, точки B и C равноудалены от прямой AD и BC ∥ AD. Следовательно, ABCD — трапеция, а так как AB = CD, она равнобедренная.Ответ: равнобедренная трапеция ABCD построена.
Кратко 1) Построить основание AD и данный угол DAB.
2) На луче угла отложить данную сторону AB.
3) При вершине D построить угол ADC = ∠DAB в той же полуплоскости относительно AD.
4) На его луче отложить DC = AB и соединить B с C.Получим BC ∥ AD и AB = CD, поэтому ABCD — равнобедренная трапеция.Ответ: трапеция ABCD построена.
Разбор 2 Построить равнобедренную трапецию ABCD
Построить равнобедренную трапецию ABCDС пояснением
1) Построим данное основание BC.
2) Проведём окружность с центром C и радиусом, равным данной стороне AB.
3) Проведём окружность с центром B и радиусом, равным данной диагонали BD. Одну из точек пересечения окружностей обозначим D.
4) Построим серединный перпендикуляр к отрезку BC.
5) Построим точку A, симметричную точке D относительно серединного перпендикуляра к BC.Докажем правильность построения. При симметрии точки B и C переходят друг в друга, а D переходит в A. Поэтому AB = CD, AC = BD, а AD ∥ BC. Следовательно, ABCD — равнобедренная трапеция с заданными основанием BC, боковой стороной AB и диагональю BD.Ответ: искомая трапеция ABCD построена.
Кратко 1) Постройте окружность с центром C радиуса AB и окружность с центром B радиуса BD.
2) Точку их пересечения обозначьте D.
3) Проведите серединный перпендикуляр к BC.
4) Отразите точку D относительно этого перпендикуляра и получите точку A.Ответ: ABCD — искомая равнобедренная трапеция.
2) Проведём окружность с центром C и радиусом, равным данной стороне AB.
3) Проведём окружность с центром B и радиусом, равным данной диагонали BD. Одну из точек пересечения окружностей обозначим D.
4) Построим серединный перпендикуляр к отрезку BC.
5) Построим точку A, симметричную точке D относительно серединного перпендикуляра к BC.Докажем правильность построения. При симметрии точки B и C переходят друг в друга, а D переходит в A. Поэтому AB = CD, AC = BD, а AD ∥ BC. Следовательно, ABCD — равнобедренная трапеция с заданными основанием BC, боковой стороной AB и диагональю BD.Ответ: искомая трапеция ABCD построена.
Кратко 1) Постройте окружность с центром C радиуса AB и окружность с центром B радиуса BD.
2) Точку их пересечения обозначьте D.
3) Проведите серединный перпендикуляр к BC.
4) Отразите точку D относительно этого перпендикуляра и получите точку A.Ответ: ABCD — искомая равнобедренная трапеция.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Отрезок АВ является диаметром окружности, а хорды ВС и AD параллельны. Докажите, что хорда CD является диаметром.
Дано:
O-ц.окруж;
AB-диаметр;
AD; BC-хорд;
BC || AD;
Доказать:
CD-диаметр;
Решение:
1) Накрест лежащие углы:
AD || BC, CD, угол ADC=угол BCD;
AD || BC, AB, угол DAB=угол ABC;
2) В треугольниках AOD и BOC:
угол DAO=угол CBO, угол ADO=угол BCO;
угол AOD=угол BOC, откуда O принадлежит CD;
Что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Постройте равнобедренную трапецию ABCD:
а) по основанию AD, углу А и боковой стороне АВ;
б) по основанию ВС, боковой стороне АВ и диагонали BD.
