Упр.396 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что М лежит на окружности с диаметром АВС пояснением
Пусть общая касательная окружностей в точке М пересекает прямую АВ в точке С.1) Отрезки СА и СМ — касательные к первой окружности, проведённые из одной точки С. Поэтому СА = СМ.
2) Отрезки СВ и СМ — касательные ко второй окружности, проведённые из точки С. Поэтому СВ = СМ.
3) Значит, СА = СВ = СМ. При этом точка С лежит между А и В, поэтому она является серединой отрезка АВ.
4) Точки А, В и М равноудалены от С. Следовательно, они лежат на окружности с центром С. Так как С — середина АВ, отрезок АВ является диаметром этой окружности.Ответ: точка М лежит на окружности с диаметром АВ, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть касательная в точке М пересекает АВ в точке С. По свойству касательных, проведённых из одной точки:
СА = СМ и СВ = СМ.
Значит, СА = СВ = СМ. Точка С — середина АВ и центр окружности, проходящей через А, В и М. Поэтому АВ — её диаметр.Ответ: М лежит на окружности с диаметром АВ.
2) Отрезки СВ и СМ — касательные ко второй окружности, проведённые из точки С. Поэтому СВ = СМ.
3) Значит, СА = СВ = СМ. При этом точка С лежит между А и В, поэтому она является серединой отрезка АВ.
4) Точки А, В и М равноудалены от С. Следовательно, они лежат на окружности с центром С. Так как С — середина АВ, отрезок АВ является диаметром этой окружности.Ответ: точка М лежит на окружности с диаметром АВ, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть касательная в точке М пересекает АВ в точке С. По свойству касательных, проведённых из одной точки:
СА = СМ и СВ = СМ.
Значит, СА = СВ = СМ. Точка С — середина АВ и центр окружности, проходящей через А, В и М. Поэтому АВ — её диаметр.Ответ: М лежит на окружности с диаметром АВ.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разделить отрезок AB на n равных частейС пояснением
1) Из точки A проведём произвольный луч, не лежащий на прямой AB.
2) На луче циркулем последовательно отложим n равных отрезков: AA₁ = A₁A₂ = … = Aₙ₋₁Aₙ.
3) Соединим точку Aₙ с точкой B.
4) Через точки A₁, A₂, …, Aₙ₋₁ проведём прямые, параллельные AₙB. Точки их пересечения с AB обозначим B₁, B₂, …, Bₙ₋₁.
5) По свойству параллельных прямых они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Так как отрезки на вспомогательном луче равны, то AB₁ = B₁B₂ = … = Bₙ₋₁B.
Ответ: точки B₁, B₂, …, Bₙ₋₁ делят отрезок AB на n равных частей.
Кратко Проведите из A вспомогательный луч и отложите на нём подряд n одинаковых отрезков. Последнюю полученную точку соедините с B. Через остальные отмеченные точки проведите прямые, параллельные этой соединяющей прямой, до пересечения с AB.
Ответ: полученные точки пересечения разделят AB на n равных частей.
2) На луче циркулем последовательно отложим n равных отрезков: AA₁ = A₁A₂ = … = Aₙ₋₁Aₙ.
3) Соединим точку Aₙ с точкой B.
4) Через точки A₁, A₂, …, Aₙ₋₁ проведём прямые, параллельные AₙB. Точки их пересечения с AB обозначим B₁, B₂, …, Bₙ₋₁.
5) По свойству параллельных прямых они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Так как отрезки на вспомогательном луче равны, то AB₁ = B₁B₂ = … = Bₙ₋₁B.
Ответ: точки B₁, B₂, …, Bₙ₋₁ делят отрезок AB на n равных частей.
Кратко Проведите из A вспомогательный луч и отложите на нём подряд n одинаковых отрезков. Последнюю полученную точку соедините с B. Через остальные отмеченные точки проведите прямые, параллельные этой соединяющей прямой, до пересечения с AB.
Ответ: полученные точки пересечения разделят AB на n равных частей.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
*. Две окружности имеют общую точку М и общую касательную в этой точке. Прямая АВ касается одной окружности в точке А, а другой — в точке В. Докажите, что точка М лежит на окружности с диаметром АВ.
Дано:
MK-касатель;
AB-касатель;
K=ABnKM;
Доказать:
M-лежит на
окр.с диам.AB;
Решение:
1) Касательные из одной точки:
KA=KM, KB=KM, AK=KB;
2) Точки лежат на окружности:
AK=KB=KM=R, K принадлежит AB;
K-центр и AB-диаметр;
Что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Разделите данный отрезок АВ на п равных частей.
Решение
Проведём луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нём от точки А отложим последовательно п равных отрезков АА1, А1А2, ..., Аn-1Аn (рис. 167), т. е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (на рисунке 167 n = 5). Проведём прямую АnВ (точка Аn — конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки А1, А2, ..., Аn-1 и параллельные прямой АnВ. Эти прямые пересекают отрезок АВ в точках В1, В2, ..., Вn-1, которые по теореме Фалеса (задача 385) делят отрезок АВ на n равных частей.
