Упр.393 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать свойство оси симметрии треугольникаС пояснением
Пусть треугольник ABC имеет ось симметрии l.1) При отражении относительно l треугольник совмещается сам с собой. Одна его вершина, например A, остаётся на месте, поэтому A лежит на оси l. Две другие вершины B и C переходят друг в друга.
2) При симметрии сторона AB переходит в сторону AC. Симметрия сохраняет длины, значит, AB = AC. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный, а BC — его основание.
3) Точки B и C симметричны относительно l. Поэтому ось l проходит через середину отрезка BC и перпендикулярна ему.Ответ: треугольник равнобедренный, а его ось симметрии является серединным перпендикуляром к основанию.
Кратко Пусть ось симметрии проходит через вершину A, а вершины B и C при отражении меняются местами. Тогда сторона AB переходит в AC, поэтому AB = AC и треугольник равнобедренный. Так как B и C симметричны, ось симметрии делит BC пополам и перпендикулярна BC.Ответ: ось симметрии равнобедренного треугольника — серединный перпендикуляр к его основанию.
2) При симметрии сторона AB переходит в сторону AC. Симметрия сохраняет длины, значит, AB = AC. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный, а BC — его основание.
3) Точки B и C симметричны относительно l. Поэтому ось l проходит через середину отрезка BC и перпендикулярна ему.Ответ: треугольник равнобедренный, а его ось симметрии является серединным перпендикуляром к основанию.
Кратко Пусть ось симметрии проходит через вершину A, а вершины B и C при отражении меняются местами. Тогда сторона AB переходит в AC, поэтому AB = AC и треугольник равнобедренный. Так как B и C симметричны, ось симметрии делит BC пополам и перпендикулярна BC.Ответ: ось симметрии равнобедренного треугольника — серединный перпендикуляр к его основанию.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Построить параллелограмм по сторонам и углу
Построить параллелограмм по сторонам и углуС пояснением
Пусть даны отрезки длиной a и b и угол α.1) Построим угол DAB, равный данному углу α.
2) На одном луче угла отложим отрезок AB = a, а на другом — отрезок AD = b.
3) Через точку B проведём прямую, параллельную AD.
4) Через точку D проведём прямую, параллельную AB. Точку пересечения проведённых прямых обозначим C.
5) Четырёхугольник ABCD — параллелограмм, так как AB ∥ CD и AD ∥ BC. Его смежные стороны AB и AD и угол между ними равны заданным.Ответ: параллелограмм ABCD построен.
Кратко Пусть даны стороны a, b и угол α. Построим ∠DAB = α, на его сторонах отложим AB = a и AD = b. Через B проведём прямую, параллельную AD, а через D — прямую, параллельную AB. Их пересечение обозначим C.Ответ: ABCD — искомый параллелограмм.
2) На одном луче угла отложим отрезок AB = a, а на другом — отрезок AD = b.
3) Через точку B проведём прямую, параллельную AD.
4) Через точку D проведём прямую, параллельную AB. Точку пересечения проведённых прямых обозначим C.
5) Четырёхугольник ABCD — параллелограмм, так как AB ∥ CD и AD ∥ BC. Его смежные стороны AB и AD и угол между ними равны заданным.Ответ: параллелограмм ABCD построен.
Кратко Пусть даны стороны a, b и угол α. Построим ∠DAB = α, на его сторонах отложим AB = a и AD = b. Через B проведём прямую, параллельную AD, а через D — прямую, параллельную AB. Их пересечение обозначим C.Ответ: ABCD — искомый параллелограмм.
Разбор 2 Построить параллелограмм по диагоналям и углу
Построить параллелограмм по диагоналям и углуС пояснением
Пусть даны отрезки, равные диагоналям AC и BD, и угол между ними.1) Разделим каждый из данных отрезков пополам.
2) Построим угол с вершиной O, равный данному углу между диагоналями.
3) На одной стороне угла отложим OA, равный половине AC, а на противоположном луче этой же прямой — OC = OA.
4) На другой стороне угла отложим OB, равный половине BD, а на противоположном луче — OD = OB.
5) Соединим точки A, B, C и D последовательно.Полученный четырёхугольник ABCD — параллелограмм, так как его диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делятся ею пополам. Их длины и угол между ними равны заданным.Ответ: параллелограмм ABCD построен.
Кратко 1) Разделить обе заданные диагонали пополам.
2) Построить угол, равный заданному, и продолжить его стороны за вершину O.
3) На одной прямой отложить OA = OC, равные половине первой диагонали.
4) На другой прямой отложить OB = OD, равные половине второй диагонали.
5) Соединить A, B, C, D.Ответ: ABCD — искомый параллелограмм.
2) Построим угол с вершиной O, равный данному углу между диагоналями.
3) На одной стороне угла отложим OA, равный половине AC, а на противоположном луче этой же прямой — OC = OA.
4) На другой стороне угла отложим OB, равный половине BD, а на противоположном луче — OD = OB.
5) Соединим точки A, B, C и D последовательно.Полученный четырёхугольник ABCD — параллелограмм, так как его диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делятся ею пополам. Их длины и угол между ними равны заданным.Ответ: параллелограмм ABCD построен.
Кратко 1) Разделить обе заданные диагонали пополам.
2) Построить угол, равный заданному, и продолжить его стороны за вершину O.
3) На одной прямой отложить OA = OC, равные половине первой диагонали.
4) На другой прямой отложить OB = OD, равные половине второй диагонали.
5) Соединить A, B, C, D.Ответ: ABCD — искомый параллелограмм.
Разбор 3 Построить параллелограмм по сторонам и диагонали
Построить параллелограмм по сторонам и диагоналиС пояснением
Пусть даны смежные стороны a и b и диагональ d, соединяющая их концы.1) Построим отрезок BD = d.
2) Проведём окружность с центром B и радиусом a, а также окружность с центром D и радиусом b. Одну из точек их пересечения обозначим A.
3) Проведём через B прямую, параллельную AD, а через D — прямую, параллельную AB. Точку пересечения этих прямых обозначим C.
4) Четырёхугольник ABCD — искомый параллелограмм, так как AB ∥ CD и AD ∥ BC. При этом AB = a, AD = b, а BD = d.Окружности могут пересекаться в двух точках, но полученные параллелограммы равны.Ответ: параллелограмм ABCD построен.
Кратко 1) Построить BD, равный данной диагонали.
2) Из B провести окружность радиуса первой стороны, из D — окружность радиуса второй стороны. Их точку пересечения обозначить A.
3) Через B провести прямую, параллельную AD, а через D — прямую, параллельную AB. Точку их пересечения обозначить C.Ответ: ABCD — искомый параллелограмм.
2) Проведём окружность с центром B и радиусом a, а также окружность с центром D и радиусом b. Одну из точек их пересечения обозначим A.
3) Проведём через B прямую, параллельную AD, а через D — прямую, параллельную AB. Точку пересечения этих прямых обозначим C.
4) Четырёхугольник ABCD — искомый параллелограмм, так как AB ∥ CD и AD ∥ BC. При этом AB = a, AD = b, а BD = d.Окружности могут пересекаться в двух точках, но полученные параллелограммы равны.Ответ: параллелограмм ABCD построен.
Кратко 1) Построить BD, равный данной диагонали.
2) Из B провести окружность радиуса первой стороны, из D — окружность радиуса второй стороны. Их точку пересечения обозначить A.
3) Через B провести прямую, параллельную AD, а через D — прямую, параллельную AB. Точку их пересечения обозначить C.Ответ: ABCD — искомый параллелограмм.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный и осью симметрии является серединный перпендикуляр к основанию.
Треугольник имеет три вершины, значит одна из них лежит на оси симметрии, при этом остальные вершины лежат по разные стороны от нее, пусть AH-ось симметрии и H принадлежит BC, тогда AH перпендикулярно BC и BH=HC, значит A - > A и B - > C, отсюда верно AB=AC, что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между ними; в) по двум смежным сторонам и соединяющей их концы диагонали.
Решение
в) Даны три отрезка M1N1, M2N2, M3N3 (рис. 166, а). Требуется построить параллелограмм ABCD, у которого смежные стороны, скажем АВ и AD, равны соответственно отрезкам MlN1 и M2N2, а диагональ BD равна отрезку M3N3. Проведём решение задачи по схеме, описанной на с. 94.
