Упр.395 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать постоянство периметра AMN и угла MONС пояснением
1) Из одной точки к окружности проведены равные касательные, поэтому MB = MX и NC = NX. Следовательно,
PAMN = AM + MN + AN = AM + MX + XN + AN = AM + MB + AN + NC = AB + AC.
Но AB = AC как касательные, проведённые из точки A. Значит, PAMN = 2AB и не зависит от положения точки X.2) Треугольники OBM и OXM равны: OB = OX как радиусы, MB = MX как отрезки касательных, OM — общая сторона. Поэтому ∠BOM = ∠MOX, то есть OM делит угол BOX пополам.Аналогично треугольники OXN и OCN равны, поэтому ∠XON = ∠NOC и ON делит угол XOC пополам.Следовательно,
∠MON = ∠MOX + ∠XON = 1/2∠BOX + 1/2∠XOC = 1/2∠BOC.
Угол BOC постоянен, поэтому угол MON также не зависит от выбора точки X.Кроме того, OB ⟂ AB и OC ⟂ AC, поэтому ∠BOC + ∠BAC = 180°. Значит,
∠MON = 1/2∠BOC = 90° − 1/2∠BAC.Ответ: PAMN = 2AB; ∠MON = 1/2∠BOC = 90° − 1/2∠BAC, поэтому обе величины постоянны.
Кратко MB = MX и NC = NX как отрезки касательных. Поэтому
PAMN = AM + MX + XN + AN = AB + AC = 2AB.Из равенства треугольников OBM и OXM следует, что OM — биссектриса угла BOX. Аналогично ON — биссектриса угла XOC. Значит,
∠MON = 1/2∠BOC = 90° − 1/2∠BAC.Ответ: PAMN = 2AB, ∠MON = 1/2∠BOC; обе величины не зависят от выбора X.
PAMN = AM + MN + AN = AM + MX + XN + AN = AM + MB + AN + NC = AB + AC.
Но AB = AC как касательные, проведённые из точки A. Значит, PAMN = 2AB и не зависит от положения точки X.2) Треугольники OBM и OXM равны: OB = OX как радиусы, MB = MX как отрезки касательных, OM — общая сторона. Поэтому ∠BOM = ∠MOX, то есть OM делит угол BOX пополам.Аналогично треугольники OXN и OCN равны, поэтому ∠XON = ∠NOC и ON делит угол XOC пополам.Следовательно,
∠MON = ∠MOX + ∠XON = 1/2∠BOX + 1/2∠XOC = 1/2∠BOC.
Угол BOC постоянен, поэтому угол MON также не зависит от выбора точки X.Кроме того, OB ⟂ AB и OC ⟂ AC, поэтому ∠BOC + ∠BAC = 180°. Значит,
∠MON = 1/2∠BOC = 90° − 1/2∠BAC.Ответ: PAMN = 2AB; ∠MON = 1/2∠BOC = 90° − 1/2∠BAC, поэтому обе величины постоянны.
Кратко MB = MX и NC = NX как отрезки касательных. Поэтому
PAMN = AM + MX + XN + AN = AB + AC = 2AB.Из равенства треугольников OBM и OXM следует, что OM — биссектриса угла BOX. Аналогично ON — биссектриса угла XOC. Значит,
∠MON = 1/2∠BOC = 90° − 1/2∠BAC.Ответ: PAMN = 2AB, ∠MON = 1/2∠BOC; обе величины не зависят от выбора X.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить параллелограмм по углу, стороне и высотеС пояснением
1) Построим угол BAD, равный данному углу hk.
2) На луче AB отложим отрезок AB = P₂Q₂.
3) В точке A построим перпендикуляр к AB и отложим на нём отрезок AE = P₁Q₁ внутрь угла BAD.
4) Через точку E проведём прямую, параллельную AB. Точку её пересечения с лучом AD обозначим D.
5) Через точку B проведём прямую, параллельную AD. Её пересечение с прямой, проходящей через D, обозначим C.Полученный четырёхугольник ABCD — параллелограмм, так как AB ∥ DC и AD ∥ BC. Расстояние между AB и DC равно длине перпендикуляра AE, то есть P₁Q₁. По построению AB = P₂Q₂ и ∠A = ∠hk.Ответ: параллелограмм ABCD построен.
Кратко 1) Построить ∠BAD = ∠hk.
2) На луче AB отложить AB = P₂Q₂.
3) Построить AE ⟂ AB, где AE = P₁Q₁.
4) Через E провести прямую, параллельную AB; её пересечение с лучом AD обозначить D.
5) Через B провести прямую, параллельную AD; точку пересечения с прямой DC обозначить C.Ответ: ABCD — искомый параллелограмм.
2) На луче AB отложим отрезок AB = P₂Q₂.
3) В точке A построим перпендикуляр к AB и отложим на нём отрезок AE = P₁Q₁ внутрь угла BAD.
4) Через точку E проведём прямую, параллельную AB. Точку её пересечения с лучом AD обозначим D.
5) Через точку B проведём прямую, параллельную AD. Её пересечение с прямой, проходящей через D, обозначим C.Полученный четырёхугольник ABCD — параллелограмм, так как AB ∥ DC и AD ∥ BC. Расстояние между AB и DC равно длине перпендикуляра AE, то есть P₁Q₁. По построению AB = P₂Q₂ и ∠A = ∠hk.Ответ: параллелограмм ABCD построен.
Кратко 1) Построить ∠BAD = ∠hk.
2) На луче AB отложить AB = P₂Q₂.
3) Построить AE ⟂ AB, где AE = P₁Q₁.
4) Через E провести прямую, параллельную AB; её пересечение с лучом AD обозначить D.
5) Через B провести прямую, параллельную AD; точку пересечения с прямой DC обозначить C.Ответ: ABCD — искомый параллелограмм.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О, В и С — точки касания. Через произвольную точку X, взятую на дуге ВС, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки АВ и АС в точках М и N. Докажите, что периметр треугольника AMN и величина угла MON не зависят от выбора точки X на дуге ВС.
Дано:
O-ц.окр;
AB-касат;
AC-касат;
MN-касат;
M=MNnAB;
N=MNnAC;
Доказать:
P_AMN-const;
угол MON-const;
Решение:
1) Касательные из одной точки:
BM=MX, CN=NX, AB=AC;
AB=AM+BM, AC=AN+NC;
MN=MX+XN=BM+NC;
2) В треугольнике треугольник AMN:
P_AMN=AM+MN+AN;
P_AMN=AB+AC=2AB;
3) По катету и гипотенузе:
треугольник BOM=треугольник XOM, угол BOM=угол XOM;
треугольник XON=треугольник CON, угол XON=угол CON;
угол BOC=2•угол MOX+2•угол NOX;
угол O=2угол MON, угол MON=1/2угол O;
Что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Даны острый угол hk и два отрезка P1Q1 и P2Q2. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы расстояние между параллельными прямыми АВ и DC равнялось P1Q1, AB = P2Q2 и угол A = угол hk.
