Упр.389 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Разбор 1 Определить, лежат ли A₁, B₁, C₁ на одной прямой
Определить, лежат ли A₁, B₁, C₁ на одной прямойС пояснением
1) 80 см = 8 дм.
2) AB + BC = 2 + 8 = 10 (дм), а AC = 10 дм. Значит, точка B лежит между точками A и C, поэтому A, B и C лежат на одной прямой.
3) При симметрии относительно прямой точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, также лежащие на одной прямой.Ответ: да, точки A₁, B₁, C₁ лежат на одной прямой.
Кратко 80 см = 8 дм.
AB + BC = 2 + 8 = 10 (дм) = AC, значит, A, B, C лежат на одной прямой. Симметрия сохраняет расположение точек на одной прямой.Ответ: да, A₁, B₁, C₁ лежат на одной прямой.
2) AB + BC = 2 + 8 = 10 (дм), а AC = 10 дм. Значит, точка B лежит между точками A и C, поэтому A, B и C лежат на одной прямой.
3) При симметрии относительно прямой точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, также лежащие на одной прямой.Ответ: да, точки A₁, B₁, C₁ лежат на одной прямой.
Кратко 80 см = 8 дм.
AB + BC = 2 + 8 = 10 (дм) = AC, значит, A, B, C лежат на одной прямой. Симметрия сохраняет расположение точек на одной прямой.Ответ: да, A₁, B₁, C₁ лежат на одной прямой.
Разбор 2 Определить, лежат ли A₁, B₁, C₁ на одной прямой
Определить, лежат ли A₁, B₁, C₁ на одной прямойС пояснением
1) При осевой симметрии расстояния сохраняются, поэтому A₁B₁ = AB = 1,1 см и C₁A₁ = CA = 6 см.
2) Наибольшее расстояние равно 6 см, но 1,1 + 5 = 6,1 см.
3) Если бы точки A₁, B₁, C₁ лежали на одной прямой, наибольшее расстояние равнялось бы сумме двух других. Здесь 6 ≠ 6,1, поэтому точки не лежат на одной прямой.
Ответ: нет, точки A₁, B₁, C₁ не лежат на одной прямой.
Кратко При симметрии расстояния сохраняются: A₁B₁ = 1,1 см, B₁C₁ = 5 см, C₁A₁ = 6 см.
1,1 + 5 = 6,1 (см), а не 6 см, поэтому точки не лежат на одной прямой.
Ответ: нет.
2) Наибольшее расстояние равно 6 см, но 1,1 + 5 = 6,1 см.
3) Если бы точки A₁, B₁, C₁ лежали на одной прямой, наибольшее расстояние равнялось бы сумме двух других. Здесь 6 ≠ 6,1, поэтому точки не лежат на одной прямой.
Ответ: нет, точки A₁, B₁, C₁ не лежат на одной прямой.
Кратко При симметрии расстояния сохраняются: A₁B₁ = 1,1 см, B₁C₁ = 5 см, C₁A₁ = 6 см.
1,1 + 5 = 6,1 (см), а не 6 см, поэтому точки не лежат на одной прямой.
Ответ: нет.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Доказать равнобедренность трапеции по углам
Доказать равнобедренность трапеции по угламС пояснением
Пусть в трапеции ABCD основания AD и BC параллельны, а ∠A = ∠D.1) Проведём BM ⟂ AD и CN ⟂ AD. Так как BC ∥ AD, четырёхугольник BMNC — прямоугольник, поэтому BM = CN.
2) Прямоугольные треугольники ABM и DCN равны по катету и прилежащему острому углу: BM = CN, ∠BMA = ∠CND = 90°, ∠BAM = ∠CDN.
3) Из равенства треугольников следует, что AB = CD. Значит, боковые стороны трапеции равны, поэтому она равнобедренная.Ответ: трапеция ABCD равнобедренная.
Кратко Пусть AD ∥ BC и ∠A = ∠D. Проведём BM ⟂ AD и CN ⟂ AD. Тогда BMNC — прямоугольник, поэтому BM = CN. Прямоугольные треугольники ABM и DCN равны по катету и прилежащему острому углу. Следовательно, AB = CD, значит, трапеция равнобедренная.Ответ: трапеция ABCD равнобедренная.
2) Прямоугольные треугольники ABM и DCN равны по катету и прилежащему острому углу: BM = CN, ∠BMA = ∠CND = 90°, ∠BAM = ∠CDN.
3) Из равенства треугольников следует, что AB = CD. Значит, боковые стороны трапеции равны, поэтому она равнобедренная.Ответ: трапеция ABCD равнобедренная.
Кратко Пусть AD ∥ BC и ∠A = ∠D. Проведём BM ⟂ AD и CN ⟂ AD. Тогда BMNC — прямоугольник, поэтому BM = CN. Прямоугольные треугольники ABM и DCN равны по катету и прилежащему острому углу. Следовательно, AB = CD, значит, трапеция равнобедренная.Ответ: трапеция ABCD равнобедренная.
Разбор 2 Доказать равнобедренность трапеции по равным диагоналям
Доказать равнобедренность трапеции по равным диагоналямС пояснением
Пусть в трапеции ABCD основания AD и BC, причём AD — большее основание, а AC = BD.1) Продолжим основание AD за точку D до точки E и проведём CE ∥ BD.
2) В четырёхугольнике BCED стороны BC и DE параллельны, а BD и CE параллельны. Значит, BCED — параллелограмм, поэтому CE = BD.
3) По условию BD = AC, следовательно, CE = AC. Поэтому треугольник ACE равнобедренный и ∠CAE = ∠AEC.
4) Так как точки A, D, E лежат на одной прямой, ∠CAE = ∠CAD. Из CE ∥ BD следует, что ∠AEC = ∠ADB. Значит, ∠CAD = ∠ADB.
5) Треугольники CAD и BDA равны по двум сторонам и углу между ними: AC = BD, AD — общая сторона, ∠CAD = ∠ADB.
6) Поэтому их соответствующие стороны CD и AB равны. Следовательно, трапеция ABCD равнобедренная.Ответ: трапеция ABCD равнобедренная.
Кратко Пусть AD ∥ BC и AC = BD. Продолжим AD за точку D до E и проведём CE ∥ BD. Тогда BCED — параллелограмм, поэтому CE = BD = AC. Треугольник ACE равнобедренный, значит, ∠CAE = ∠AEC. Отсюда ∠CAD = ∠ADB. Треугольники CAD и BDA равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, CD = AB.Ответ: трапеция ABCD равнобедренная.
2) В четырёхугольнике BCED стороны BC и DE параллельны, а BD и CE параллельны. Значит, BCED — параллелограмм, поэтому CE = BD.
3) По условию BD = AC, следовательно, CE = AC. Поэтому треугольник ACE равнобедренный и ∠CAE = ∠AEC.
4) Так как точки A, D, E лежат на одной прямой, ∠CAE = ∠CAD. Из CE ∥ BD следует, что ∠AEC = ∠ADB. Значит, ∠CAD = ∠ADB.
5) Треугольники CAD и BDA равны по двум сторонам и углу между ними: AC = BD, AD — общая сторона, ∠CAD = ∠ADB.
6) Поэтому их соответствующие стороны CD и AB равны. Следовательно, трапеция ABCD равнобедренная.Ответ: трапеция ABCD равнобедренная.
Кратко Пусть AD ∥ BC и AC = BD. Продолжим AD за точку D до E и проведём CE ∥ BD. Тогда BCED — параллелограмм, поэтому CE = BD = AC. Треугольник ACE равнобедренный, значит, ∠CAE = ∠AEC. Отсюда ∠CAD = ∠ADB. Треугольники CAD и BDA равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, CD = AB.Ответ: трапеция ABCD равнобедренная.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Лежат ли точки A_1, B_1, C_1 на одной прямой, если они симметричны точкам А, В, С относительно некоторой прямой и известно, что: а) AB=2 дм, AC=10 дм, BC=80 см; б) AB=1,1 см, B_1C_1=5 см, CA=6 см?
Задание учебника 2023 года
Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.
