Упр.378 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить треугольник, симметричный относительно прямой рС пояснением
1) Из вершин A, B и C проведём перпендикуляры к прямой р.
2) На продолжении каждого перпендикуляра по другую сторону от прямой р отложим равные отрезки так, чтобы прямая р делила отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пополам.
3) Соединим точки A₁, B₁ и C₁. Получим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC относительно прямой р.
4) Масштабной линейкой и транспортиром проверим:
A₁B₁ = AB, B₁C₁ = BC, C₁A₁ = CA;
∠A₁ = ∠A, ∠B₁ = ∠B, ∠C₁ = ∠C.
5) Если прямая р пересекает две стороны треугольника, построение выполняется точно так же: из каждой вершины опускаем перпендикуляр на р и откладываем с другой стороны равное расстояние. Точки треугольника, лежащие на прямой р, при симметрии остаются на месте.
Ответ: в обоих случаях построенные треугольники равны по соответствующим сторонам и углам.
Кратко Проведём из A, B и C перпендикуляры к прямой р. По другую сторону от р отметим точки A₁, B₁ и C₁ так, чтобы прямая р делила AA₁, BB₁ и CC₁ пополам. Соединим A₁, B₁ и C₁.
Измерения показывают:
A₁B₁ = AB, B₁C₁ = BC, C₁A₁ = CA;
∠A₁ = ∠A, ∠B₁ = ∠B, ∠C₁ = ∠C.
При пересечении прямой р с двумя сторонами построение повторяется тем же способом.
Ответ: треугольник A₁B₁C₁ симметричен треугольнику ABC относительно прямой р; их соответствующие стороны и углы равны.
2) На продолжении каждого перпендикуляра по другую сторону от прямой р отложим равные отрезки так, чтобы прямая р делила отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пополам.
3) Соединим точки A₁, B₁ и C₁. Получим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC относительно прямой р.
4) Масштабной линейкой и транспортиром проверим:
A₁B₁ = AB, B₁C₁ = BC, C₁A₁ = CA;
∠A₁ = ∠A, ∠B₁ = ∠B, ∠C₁ = ∠C.
5) Если прямая р пересекает две стороны треугольника, построение выполняется точно так же: из каждой вершины опускаем перпендикуляр на р и откладываем с другой стороны равное расстояние. Точки треугольника, лежащие на прямой р, при симметрии остаются на месте.
Ответ: в обоих случаях построенные треугольники равны по соответствующим сторонам и углам.
Кратко Проведём из A, B и C перпендикуляры к прямой р. По другую сторону от р отметим точки A₁, B₁ и C₁ так, чтобы прямая р делила AA₁, BB₁ и CC₁ пополам. Соединим A₁, B₁ и C₁.
Измерения показывают:
A₁B₁ = AB, B₁C₁ = BC, C₁A₁ = CA;
∠A₁ = ∠A, ∠B₁ = ∠B, ∠C₁ = ∠C.
При пересечении прямой р с двумя сторонами построение повторяется тем же способом.
Ответ: треугольник A₁B₁C₁ симметричен треугольнику ABC относительно прямой р; их соответствующие стороны и углы равны.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать выпуклость параллелограммаС пояснением
Пусть ABCD — параллелограмм.1) Так как AB ∥ CD, а AD — секущая, то ∠A + ∠D = 180°.
2) Так как AD ∥ BC, а AB — секущая, то ∠A + ∠B = 180°.
3) Каждый угол параллелограмма больше 0°, поэтому из этих равенств следует, что каждый из углов A, B, C и D меньше 180°.
4) Четырёхугольник, каждый угол которого меньше 180°, является выпуклым.Ответ: параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.
Кратко У параллелограмма сумма каждой пары соседних углов равна 180°. Поэтому каждый его угол меньше 180°, а значит, параллелограмм выпуклый.Ответ: параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.
2) Так как AD ∥ BC, а AB — секущая, то ∠A + ∠B = 180°.
3) Каждый угол параллелограмма больше 0°, поэтому из этих равенств следует, что каждый из углов A, B, C и D меньше 180°.
4) Четырёхугольник, каждый угол которого меньше 180°, является выпуклым.Ответ: параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.
Кратко У параллелограмма сумма каждой пары соседних углов равна 180°. Поэтому каждый его угол меньше 180°, а значит, параллелограмм выпуклый.Ответ: параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Начертите треугольник АВС и прямую р, не пересекающую его стороны. Постройте треугольник A_1B_1C_1, симметричный треугольнику АВС относительно прямой р. Пользуясь масштабной линейкой и транспортиром, убедитесь в том, что стороны и углы треугольника A_1B_1C_1 соответственно равны сторонам и углам треугольника АВС. Выполните ещё раз построение для случая, когда прямая р пересекает две стороны треугольника.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.
Решение
Рассмотрим параллелограмм ABCD (см. рис. 157) и докажем, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Возьмём, например, прямую АВ. Отрезок CD не имеет общих точек с прямой АВ, так как АВ || CD. Значит, этот отрезок лежит по одну сторону от прямой АВ. Но тогда и отрезки ВС и AD лежат по ту же сторону от прямой АВ. Таким образом, параллелограмм ABCD лежит по одну сторону от прямой АВ.
