Упр.349 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти угол между касательной и хордойС пояснением
Пусть O — центр окружности, AB — хорда, а прямая AC — касательная в точке A.1) OA = OB как радиусы окружности. По условию AB также равна радиусу, поэтому треугольник AOB равносторонний и ∠OAB = 60°.
2) Радиус OA перпендикулярен касательной AC, поэтому ∠OAC = 90°.
3) ∠BAC = 90° − 60° = 30° — угол между касательной и хордой.Ответ: 30°.
Кратко OA = OB = AB, поэтому треугольник AOB равносторонний и ∠OAB = 60°. Радиус OA перпендикулярен касательной, значит искомый угол равен 90° − 60° = 30°.Ответ: 30°.
2) Радиус OA перпендикулярен касательной AC, поэтому ∠OAC = 90°.
3) ∠BAC = 90° − 60° = 30° — угол между касательной и хордой.Ответ: 30°.
Кратко OA = OB = AB, поэтому треугольник AOB равносторонний и ∠OAB = 60°. Радиус OA перпендикулярен касательной, значит искомый угол равен 90° − 60° = 30°.Ответ: 30°.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что треугольник прямоугольныйС пояснением
Обозначим треугольник ABC, AM — медиана, AH — высота. Назовём каждую из трёх равных частей угла A через α. Вершины B и C можно обозначить так, чтобы лучи шли в порядке AB, AH, AM, AC. Тогда точки на стороне BC расположены в порядке B, H, M, C.1) Прямоугольные треугольники ABH и AMH равны по катету AH и прилежащему к нему углу: ∠BAH = ∠HAM = α. Поэтому BH = HM.2) Так как AM — медиана, BM = MC. Но BM = BH + HM = 2HM, следовательно, MC = 2HM.3) Луч AM делит угол HAC пополам, так как ∠HAM = ∠MAC = α. По свойству биссектрисы в треугольнике AHC:
HM : MC = AH : AC.
Так как HM : MC = 1 : 2, то AH : AC = 1 : 2, то есть AC = 2AH.4) Треугольник AHC прямоугольный. Если его гипотенуза AC вдвое больше катета AH, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°:
∠ACH = 30°.
Значит, ∠HAC = 60°, то есть 2α = 60°, откуда α = 30°.5) ∠BAC = 3α = 90°.Ответ: треугольник ABC прямоугольный, ∠A = 90°.
Кратко Пусть AM — медиана, AH — высота, а каждая треть угла A равна α. Выберем обозначения так, что лучи расположены в порядке AB, AH, AM, AC.1) Прямоугольные треугольники ABH и AMH равны, поэтому BH = HM.
2) BM = MC, следовательно, MC = BH + HM = 2HM.
3) AM — биссектриса угла HAC, поэтому HM : MC = AH : AC = 1 : 2. Значит, AC = 2AH.
4) В прямоугольном треугольнике AHC катет AH равен половине гипотенузы, поэтому ∠ACH = 30°, а ∠HAC = 60°.
5) 2α = 60°, значит, α = 30° и ∠A = 3α = 90°.Ответ: треугольник прямоугольный.
HM : MC = AH : AC.
Так как HM : MC = 1 : 2, то AH : AC = 1 : 2, то есть AC = 2AH.4) Треугольник AHC прямоугольный. Если его гипотенуза AC вдвое больше катета AH, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°:
∠ACH = 30°.
Значит, ∠HAC = 60°, то есть 2α = 60°, откуда α = 30°.5) ∠BAC = 3α = 90°.Ответ: треугольник ABC прямоугольный, ∠A = 90°.
Кратко Пусть AM — медиана, AH — высота, а каждая треть угла A равна α. Выберем обозначения так, что лучи расположены в порядке AB, AH, AM, AC.1) Прямоугольные треугольники ABH и AMH равны, поэтому BH = HM.
2) BM = MC, следовательно, MC = BH + HM = 2HM.
3) AM — биссектриса угла HAC, поэтому HM : MC = AH : AC = 1 : 2. Значит, AC = 2AH.
4) В прямоугольном треугольнике AHC катет AH равен половине гипотенузы, поэтому ∠ACH = 30°, а ∠HAC = 60°.
5) 2α = 60°, значит, α = 30° и ∠A = 3α = 90°.Ответ: треугольник прямоугольный.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.
Дано:
O-ц.окр;
AD-касат;
AB=R;
Найти:
угол BAD;
Решение:
1) Для данной окружности:
угол OAD=90°, OB=OA=R;
2) В треугольнике треугольник AOB:
OA=OB=AB, угол A=60°;
угол BAD=90°-угол BAO=30°;
Ответ: 30°.
Задание учебника 2023 года
Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный.
