Упр.345 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать параллельность касательных в концах диаметраС пояснением
Пусть AB — диаметр окружности с центром O, а прямые a и b — касательные, проведённые в точках A и B.1) Радиус OA перпендикулярен касательной a: OA ⟂ a.
2) Радиус OB перпендикулярен касательной b: OB ⟂ b.
3) Радиусы OA и OB лежат на одной прямой AB. Значит, касательные a и b перпендикулярны одной и той же прямой AB.
4) Две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны. Следовательно, a ∥ b.Ответ: касательные, проведённые через концы диаметра, параллельны.
Кратко Пусть AB — диаметр. Касательные в точках A и B перпендикулярны радиусам OA и OB. Поскольку OA и OB лежат на одной прямой AB, обе касательные перпендикулярны AB, а значит, параллельны.Ответ: касательные параллельны.
2) Радиус OB перпендикулярен касательной b: OB ⟂ b.
3) Радиусы OA и OB лежат на одной прямой AB. Значит, касательные a и b перпендикулярны одной и той же прямой AB.
4) Две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны. Следовательно, a ∥ b.Ответ: касательные, проведённые через концы диаметра, параллельны.
Кратко Пусть AB — диаметр. Касательные в точках A и B перпендикулярны радиусам OA и OB. Поскольку OA и OB лежат на одной прямой AB, обе касательные перпендикулярны AB, а значит, параллельны.Ответ: касательные параллельны.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Сравнить периметры треугольников BCH и ABCС пояснением
1) Продлим BH за точку H и отметим точку B₁ так, чтобы HB₁ = HB.2) Прямая AH перпендикулярна BB₁ и делит его пополам. Поэтому треугольники ABH и AB₁H равны по двум катетам. Следовательно, AB₁ = AB и ∠BAH = ∠HAB₁.3) Так как AH перпендикулярна биссектрисе угла A, лучи AB₁ и AC являются противоположными. Значит, точки B₁, A, C лежат на одной прямой, причём A находится между B₁ и C. Поэтому CB₁ = AB₁ + AC = AB + AC.4) По неравенству треугольника в треугольнике CHB₁:
CH + HB₁ > CB₁.
Так как HB₁ = HB, получаем:
CH + HB > AB + AC.5) Прибавим к обеим частям BC:
BC + CH + HB > BC + AB + AC.
Следовательно, периметр треугольника BCH больше периметра треугольника ABC.Ответ: P(BCH) > P(ABC).
Кратко Продлим BH за H до точки B₁ так, чтобы HB₁ = HB. Тогда B₁, A и C лежат на одной прямой, AB₁ = AB и CB₁ = AB + AC.По неравенству треугольника CHB₁:
CH + HB = CH + HB₁ > CB₁ = AB + AC.
Прибавив BC, получим:
BC + CH + HB > BC + AB + AC.Ответ: P(BCH) > P(ABC).
CH + HB₁ > CB₁.
Так как HB₁ = HB, получаем:
CH + HB > AB + AC.5) Прибавим к обеим частям BC:
BC + CH + HB > BC + AB + AC.
Следовательно, периметр треугольника BCH больше периметра треугольника ABC.Ответ: P(BCH) > P(ABC).
Кратко Продлим BH за H до точки B₁ так, чтобы HB₁ = HB. Тогда B₁, A и C лежат на одной прямой, AB₁ = AB и CB₁ = AB + AC.По неравенству треугольника CHB₁:
CH + HB = CH + HB₁ > CB₁ = AB + AC.
Прибавив BC, получим:
BC + CH + HB > BC + AB + AC.Ответ: P(BCH) > P(ABC).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что касательные, проведённые через концы диаметра окружности, параллельны.
Касательные к окружности перпендикулярны радиусу, проведенному к точке касания, так как отрезки OA и OB лежат на одной прямой AB, то a перпендикулярно AB и b перпендикулярно AB, значит эти прямые являются параллельными, что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Через вершину А треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, а из вершины В проведён перпендикуляр ВН к этой прямой. Докажите, что периметр треугольника ВСН больше периметра треугольника ABC.
