Упр.348 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство отрезков AB и CDС пояснением
Обозначим вершину угла буквой K.1) Отрезки KA и KD — касательные к первой окружности, проведённые из одной точки K, поэтому KA = KD.2) Отрезки KB и KC — касательные ко второй окружности, проведённые из той же точки K, поэтому KB = KC.3) На сторонах угла AB = |KB − KA|, а CD = |KC − KD|. Так как KB = KC и KA = KD, то AB = CD.Ответ: AB = CD, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть K — вершина угла. По свойству касательных, проведённых из одной точки:
KA = KD, KB = KC.
Тогда AB = |KB − KA| = |KC − KD| = CD.Ответ: AB = CD.
Кратко Пусть K — вершина угла. По свойству касательных, проведённых из одной точки:
KA = KD, KB = KC.
Тогда AB = |KB − KA| = |KC − KD| = CD.Ответ: AB = CD.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать свойство биссектрисы прямого углаС пояснением
Пусть △ABC прямоугольный, ∠A = 90°, AH — высота, AM — медиана, AL — биссектриса. Пусть для определённости AB > AC.1) Точка M — середина гипотенузы BC. В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равноудалена от его вершин, поэтому AM = BM. Значит, △ABM равнобедренный и ∠BAM = ∠ABM = ∠ABC.2) Так как AH ⟂ BC, то в прямоугольном △ABH:
∠BAH = 90° − ∠ABC = ∠ACB.3) Поскольку AL — биссектриса прямого угла, ∠BAL = 45°. Кроме того,
∠ABC + ∠ACB = 90°.
Поэтому
∠LAM = 45° − ∠ABC,
∠HAL = ∠ACB − 45° = 45° − ∠ABC.
Следовательно, ∠HAL = ∠LAM.Ответ: биссектриса AL делит угол между высотой AH и медианой AM пополам.
Кратко Пусть AH — высота, AM — медиана, AL — биссектриса прямого угла A. Для определённости AB > AC.Так как M — середина гипотенузы, то AM = BM, поэтому ∠BAM = ∠ABC. Из △ABH получаем ∠BAH = ∠ACB. При этом ∠ABC + ∠ACB = 90°, а ∠BAL = 45°. Значит,
∠LAM = 45° − ∠ABC = ∠ACB − 45° = ∠HAL.Ответ: AL делит угол между AH и AM пополам.
∠BAH = 90° − ∠ABC = ∠ACB.3) Поскольку AL — биссектриса прямого угла, ∠BAL = 45°. Кроме того,
∠ABC + ∠ACB = 90°.
Поэтому
∠LAM = 45° − ∠ABC,
∠HAL = ∠ACB − 45° = 45° − ∠ABC.
Следовательно, ∠HAL = ∠LAM.Ответ: биссектриса AL делит угол между высотой AH и медианой AM пополам.
Кратко Пусть AH — высота, AM — медиана, AL — биссектриса прямого угла A. Для определённости AB > AC.Так как M — середина гипотенузы, то AM = BM, поэтому ∠BAM = ∠ABC. Из △ABH получаем ∠BAH = ∠ACB. При этом ∠ABC + ∠ACB = 90°, а ∠BAL = 45°. Значит,
∠LAM = 45° − ∠ABC = ∠ACB − 45° = ∠HAL.Ответ: AL делит угол между AH и AM пополам.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Две окружности с центрами О_1 и О_2 вписаны в угол. Одна из них касается его сторон в точках А и D, а вторая — в точках В и С. Докажите, что AB=CD.
Отрезки касательных, проведенные к окружности из одной точки, равны, значит EA=ED и EB=EC, откуда следует AB=EB-EA=EC-ED=CD, то есть AB=CD, что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.
