Упр.343 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что прямая касается окружностиС пояснением
1) Обозначим центр окружности через O, а основание перпендикуляра, проведённого из O к прямой, через H. По условию OH равно радиусу окружности, поэтому точка H лежит на окружности.
2) Возьмём на прямой любую другую точку A. Треугольник OHA прямоугольный, причём OA — его гипотенуза. Гипотенуза больше катета, поэтому OA > OH. Значит, OA больше радиуса и точка A не лежит на окружности.
3) Следовательно, прямая имеет с окружностью только одну общую точку H, поэтому она является касательной.
Ответ: прямая является касательной к окружности в точке H.
Кратко Пусть OH — расстояние от центра O до прямой. Так как OH равно радиусу, точка H лежит на окружности. Для любой другой точки A этой прямой OA — гипотенуза прямоугольного треугольника OHA, поэтому OA > OH. Значит, других общих точек нет.
Ответ: прямая касается окружности в точке H.
2) Возьмём на прямой любую другую точку A. Треугольник OHA прямоугольный, причём OA — его гипотенуза. Гипотенуза больше катета, поэтому OA > OH. Значит, OA больше радиуса и точка A не лежит на окружности.
3) Следовательно, прямая имеет с окружностью только одну общую точку H, поэтому она является касательной.
Ответ: прямая является касательной к окружности в точке H.
Кратко Пусть OH — расстояние от центра O до прямой. Так как OH равно радиусу, точка H лежит на окружности. Для любой другой точки A этой прямой OA — гипотенуза прямоугольного треугольника OHA, поэтому OA > OH. Значит, других общих точек нет.
Ответ: прямая касается окружности в точке H.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Сравнить углы между медианой и сторонамиС пояснением
Пусть в треугольнике ABC сторона AB меньше стороны AC, а AM — медиана.1) Продолжим медиану AM за точку M и отложим MD = AM.2) Треугольники AMC и DMB равны по двум сторонам и углу между ними: AM = MD, CM = MB, углы AMC и DMB вертикальные. Поэтому AC = DB и ∠MAC = ∠MDB.3) По условию AB < AC, значит, AB < DB. В треугольнике ABD против большей стороны DB лежит больший угол: ∠BAD > ∠ADB.4) Точки A, M, D лежат на одной прямой, поэтому ∠BAD = ∠BAM, а ∠ADB = ∠MDB = ∠MAC.Следовательно, ∠BAM > ∠MAC.Ответ: медиана составляет с меньшей стороной больший угол.
Кратко Пусть AB < AC, AM — медиана. Продолжим AM до точки D так, чтобы MD = AM. Треугольники AMC и DMB равны, поэтому AC = DB и ∠MAC = ∠ADB. Тогда AB < DB, а значит, в треугольнике ABD угол BAD больше угла ADB. Так как ∠BAD = ∠BAM, то ∠BAM > ∠MAC.Ответ: медиана составляет с меньшей стороной больший угол.
Кратко Пусть AB < AC, AM — медиана. Продолжим AM до точки D так, чтобы MD = AM. Треугольники AMC и DMB равны, поэтому AC = DB и ∠MAC = ∠ADB. Тогда AB < DB, а значит, в треугольнике ABD угол BAD больше угла ADB. Так как ∠BAD = ∠BAM, то ∠BAM > ∠MAC.Ответ: медиана составляет с меньшей стороной больший угол.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая является касательной к окружности.
Из центра O окружности опустим перпендикуляр OA на прямую a, так как OA=R, то точка A будет принадлежить этой окружности и OA перпендикулярно a, тогда эта прямая является касательной к заданной окружности, что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Две стороны треугольника не равны друг другу. Докажите, что медиана, проведённая из их общей вершины, составляет с меньшей из сторон больший угол.
