Упр.342 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство хорд AC и DEС пояснением
1) Рассмотрим прямоугольные треугольники AOF и DOH. Они прямоугольные, так как OF ⟂ AC и OH ⟂ DE.
2) OA = OD как радиусы одной окружности, OF = OH по условию. Значит, треугольники AOF и DOH равны по гипотенузе и катету.
3) Поэтому AF = DH.
4) Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит её пополам. Следовательно, AF = FC и DH = HE.
5) Значит, AC = 2AF, DE = 2DH. Так как AF = DH, то AC = DE.Ответ: AC = DE.
Кратко OF и OH делят хорды AC и DE пополам. Прямоугольные треугольники AOF и DOH равны по гипотенузе и катету: OA = OD как радиусы, OF = OH по условию. Поэтому AF = DH, а значит, AC = 2AF = 2DH = DE.Ответ: AC = DE.
2) OA = OD как радиусы одной окружности, OF = OH по условию. Значит, треугольники AOF и DOH равны по гипотенузе и катету.
3) Поэтому AF = DH.
4) Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит её пополам. Следовательно, AF = FC и DH = HE.
5) Значит, AC = 2AF, DE = 2DH. Так как AF = DH, то AC = DE.Ответ: AC = DE.
Кратко OF и OH делят хорды AC и DE пополам. Прямоугольные треугольники AOF и DOH равны по гипотенузе и катету: OA = OD как радиусы, OF = OH по условию. Поэтому AF = DH, а значит, AC = 2AF = 2DH = DE.Ответ: AC = DE.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что треугольник равнобедренныйС пояснением
Пусть в треугольнике ABC отрезок AD — биссектриса и медиана.1) Так как AD — медиана, то BD = DC.
2) Так как AD — биссектриса, то ∠BAD = ∠DAC.
3) Сторона AD общая для треугольников ABD и ACD.
4) Следовательно, треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними.
5) Значит, их соответствующие стороны AB и AC равны. Поэтому треугольник ABC равнобедренный.Ответ: AB = AC, треугольник ABC равнобедренный.
Кратко Пусть AD — биссектриса и медиана треугольника ABC. Тогда BD = DC, ∠BAD = ∠DAC, а AD — общая сторона. Значит, △ABD = △ACD по двум сторонам и углу между ними, поэтому AB = AC.Ответ: треугольник ABC равнобедренный.
2) Так как AD — биссектриса, то ∠BAD = ∠DAC.
3) Сторона AD общая для треугольников ABD и ACD.
4) Следовательно, треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними.
5) Значит, их соответствующие стороны AB и AC равны. Поэтому треугольник ABC равнобедренный.Ответ: AB = AC, треугольник ABC равнобедренный.
Кратко Пусть AD — биссектриса и медиана треугольника ABC. Тогда BD = DC, ∠BAD = ∠DAC, а AD — общая сторона. Значит, △ABD = △ACD по двум сторонам и углу между ними, поэтому AB = AC.Ответ: треугольник ABC равнобедренный.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.
Дано:
OF=OH;
OF перпендикулярно AC;
OH перпендикулярно DE;
Доказать:
AC=DE;
Решение:
1) В данной окружности:
OF перпендикулярно AC, отсюда AF=FC;
OH перпендикулярно DE, отсюда EH=HD;
2) По гипотенузе и катету:
OA=OE=R, OF=OH;
треугольник AFO=треугольник EHO, AF=EH;
AC=2•AF=2•EH=DE;
Что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Докажите теорему: если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный.
