Упр.341 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что OF = OHС пояснением
1) Рассмотрим прямоугольные треугольники OAF и OCF. В них OA = OC как радиусы, а OF — общий катет. Поэтому треугольники равны по гипотенузе и катету. Значит, AF = FC, то есть F — середина хорды AC.
2) Аналогично из равенства прямоугольных треугольников ODH и OEH получаем DH = HE, поэтому H — середина хорды DE.
3) Так как AC = DE, то равны и их половины: AF = DH.
4) Прямоугольные треугольники OAF и ODH равны по гипотенузе и катету: OA = OD как радиусы, AF = DH. Следовательно, OF = OH.
Ответ: OF = OH, то есть равные хорды равноудалены от центра окружности.
Кратко Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит её пополам. Поэтому AF = AC : 2, DH = DE : 2, а значит, AF = DH. В прямоугольных треугольниках OAF и ODH гипотенузы OA и OD равны как радиусы, а катеты AF и DH равны. Следовательно, треугольники равны, поэтому OF = OH.
Ответ: OF = OH.
2) Аналогично из равенства прямоугольных треугольников ODH и OEH получаем DH = HE, поэтому H — середина хорды DE.
3) Так как AC = DE, то равны и их половины: AF = DH.
4) Прямоугольные треугольники OAF и ODH равны по гипотенузе и катету: OA = OD как радиусы, AF = DH. Следовательно, OF = OH.
Ответ: OF = OH, то есть равные хорды равноудалены от центра окружности.
Кратко Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит её пополам. Поэтому AF = AC : 2, DH = DE : 2, а значит, AF = DH. В прямоугольных треугольниках OAF и ODH гипотенузы OA и OD равны как радиусы, а катеты AF и DH равны. Следовательно, треугольники равны, поэтому OF = OH.
Ответ: OF = OH.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать неравенства углов и отрезковС пояснением
1) Так как AB > AC, то в треугольнике ABC против большей стороны лежит больший угол:
∠ACB > ∠ABC.
Поскольку D лежит на BC, получаем ∠ACD > ∠ABD.2) AD — биссектриса, поэтому ∠BAD = ∠DAC. По сумме углов треугольника:
∠ADB = 180° − ∠BAD − ∠ABD,
∠ADC = 180° − ∠DAC − ∠ACD.
Первые вычитаемые равны, а ∠ABD < ∠ACD, следовательно, ∠ADB > ∠ADC.3) На стороне AB отметим точку E так, чтобы AE = AC. Треугольники AED и ACD равны по двум сторонам и углу между ними: AE = AC, AD — общая сторона, ∠EAD = ∠CAD. Поэтому ED = CD и ∠AED = ∠ACD.4) Углы AED и BED смежные, значит
∠BED = 180° − ∠ACD.
Так как ∠ABC + ∠ACB < 180°, то ∠BED > ∠ABC = ∠EBD. В треугольнике BED против большего угла лежит большая сторона, поэтому BD > ED. Но ED = CD, следовательно, BD > CD.Ответ: ∠ADB > ∠ADC, BD > CD.
Кратко Так как AB > AC, то ∠ACD = ∠ACB > ∠ABC = ∠ABD. При этом ∠BAD = ∠DAC, поэтому по сумме углов треугольников ABD и ACD получаем ∠ADB > ∠ADC.Отметим на AB точку E так, что AE = AC. Тогда △AED = △ACD по двум сторонам и углу между ними, значит ED = CD и ∠AED = ∠ACD. Поэтому ∠BED = 180° − ∠ACD > ∠ABC = ∠EBD. В △BED против большего угла лежит большая сторона: BD > ED = CD.Ответ: ∠ADB > ∠ADC, BD > CD.
∠ACB > ∠ABC.
Поскольку D лежит на BC, получаем ∠ACD > ∠ABD.2) AD — биссектриса, поэтому ∠BAD = ∠DAC. По сумме углов треугольника:
∠ADB = 180° − ∠BAD − ∠ABD,
∠ADC = 180° − ∠DAC − ∠ACD.
Первые вычитаемые равны, а ∠ABD < ∠ACD, следовательно, ∠ADB > ∠ADC.3) На стороне AB отметим точку E так, чтобы AE = AC. Треугольники AED и ACD равны по двум сторонам и углу между ними: AE = AC, AD — общая сторона, ∠EAD = ∠CAD. Поэтому ED = CD и ∠AED = ∠ACD.4) Углы AED и BED смежные, значит
∠BED = 180° − ∠ACD.
Так как ∠ABC + ∠ACB < 180°, то ∠BED > ∠ABC = ∠EBD. В треугольнике BED против большего угла лежит большая сторона, поэтому BD > ED. Но ED = CD, следовательно, BD > CD.Ответ: ∠ADB > ∠ADC, BD > CD.
Кратко Так как AB > AC, то ∠ACD = ∠ACB > ∠ABC = ∠ABD. При этом ∠BAD = ∠DAC, поэтому по сумме углов треугольников ABD и ACD получаем ∠ADB > ∠ADC.Отметим на AB точку E так, что AE = AC. Тогда △AED = △ACD по двум сторонам и углу между ними, значит ED = CD и ∠AED = ∠ACD. Поэтому ∠BED = 180° − ∠ACD > ∠ABC = ∠EBD. В △BED против большего угла лежит большая сторона: BD > ED = CD.Ответ: ∠ADB > ∠ADC, BD > CD.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.
Дано:
AC=DE;
OF перпендикулярно AC;
OH перпендикулярно DE;
Доказать:
OF=OH;
Решение:
По третьему признаку:
OA=OC=OE=OD=R;
AC=DE,отсюда треугольник AOC=треугольник DOE;
OF перпендикулярно AC, OH перпендикулярно DE, OF=OH;
Что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
В треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС, отрезок AD — биссектриса. Докажите, что угол ADB > угол ADC и BD > CD.
