Упр.340 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать расположение середин параллельных хордС пояснением
1) Пусть AB и CD — параллельные хорды окружности с центром O, а M и N — их середины.
2) Соединим точки O и M, O и N. Отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды, перпендикулярен этой хорде. Поэтому OM ⟂ AB и ON ⟂ CD.
3) Так как AB ∥ CD, перпендикуляры OM и ON к ним лежат на одной прямой, проходящей через O.
4) Эта прямая проходит через центр окружности, значит, часть её внутри окружности является диаметром. Следовательно, точки M и N лежат на одном диаметре.
Ответ: середины параллельных хорд лежат на одном диаметре.
Кратко Пусть M и N — середины параллельных хорд AB и CD, O — центр окружности. Тогда OM ⟂ AB и ON ⟂ CD. Перпендикуляры к параллельным прямым, проведённые через одну точку O, лежат на одной прямой. Эта прямая проходит через центр окружности, поэтому является прямой диаметра.
Ответ: точки M и N лежат на одном диаметре.
2) Соединим точки O и M, O и N. Отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды, перпендикулярен этой хорде. Поэтому OM ⟂ AB и ON ⟂ CD.
3) Так как AB ∥ CD, перпендикуляры OM и ON к ним лежат на одной прямой, проходящей через O.
4) Эта прямая проходит через центр окружности, значит, часть её внутри окружности является диаметром. Следовательно, точки M и N лежат на одном диаметре.
Ответ: середины параллельных хорд лежат на одном диаметре.
Кратко Пусть M и N — середины параллельных хорд AB и CD, O — центр окружности. Тогда OM ⟂ AB и ON ⟂ CD. Перпендикуляры к параллельным прямым, проведённые через одну точку O, лежат на одной прямой. Эта прямая проходит через центр окружности, поэтому является прямой диаметра.
Ответ: точки M и N лежат на одном диаметре.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что AC > ABС пояснением
1) Проведём луч BD до пересечения со стороной AC в точке E. Так как D лежит внутри треугольника ABC, точка D находится между B и E.
2) В равнобедренном треугольнике ABD стороны AD и AB равны, поэтому ∠ABD = ∠BDA.
3) Угол BDA — внешний угол треугольника ADE, значит ∠BDA > ∠AED.
4) Так как B, D и E лежат на одной прямой, то ∠ABE = ∠ABD, а ∠AEB = ∠AED. Поэтому ∠ABE > ∠AEB.
5) В треугольнике ABE против большего угла лежит большая сторона, следовательно, AE > AB. При этом E лежит на стороне AC, поэтому AC > AE.
Значит, AC > AB.
Ответ: AC > AB.
Кратко Продолжим BD до пересечения с AC в точке E. Так как AD = AB, то ∠ABD = ∠BDA. Угол BDA — внешний угол треугольника ADE, поэтому ∠BDA > ∠AED. Значит, в треугольнике ABE угол ABE больше угла AEB, откуда AE > AB. Поскольку E лежит на AC, имеем AC > AE > AB.
Ответ: AC > AB.
2) В равнобедренном треугольнике ABD стороны AD и AB равны, поэтому ∠ABD = ∠BDA.
3) Угол BDA — внешний угол треугольника ADE, значит ∠BDA > ∠AED.
4) Так как B, D и E лежат на одной прямой, то ∠ABE = ∠ABD, а ∠AEB = ∠AED. Поэтому ∠ABE > ∠AEB.
5) В треугольнике ABE против большего угла лежит большая сторона, следовательно, AE > AB. При этом E лежит на стороне AC, поэтому AC > AE.
Значит, AC > AB.
Ответ: AC > AB.
Кратко Продолжим BD до пересечения с AC в точке E. Так как AD = AB, то ∠ABD = ∠BDA. Угол BDA — внешний угол треугольника ADE, поэтому ∠BDA > ∠AED. Значит, в треугольнике ABE угол ABE больше угла AEB, откуда AE > AB. Поскольку E лежит на AC, имеем AC > AE > AB.
Ответ: AC > AB.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что середины параллельных хорд лежат на одном диаметре.
Построим серединный перпендикуляр к хорде CD, он является диаметром AB для данной окружности, так как CD || EF и CD перпендикулярно AB, тогда AB перпендикулярно EF, поэтому середина N хорды EF тоже будет принадлежать диаметру AB, что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Внутри треугольника ABC взята такая точка D, что AD=AB. Докажите, что АС > АВ.
