Упр.339 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что угол ACB острыйС пояснением
Пусть O — центр окружности. Тогда O лежит на отрезке AB и OA = OB — радиусы окружности.1) Так как точка C находится вне окружности, OC > OA и OC > OB.
2) В треугольнике AOC против большей стороны OC лежит больший угол, поэтому ∠CAO > ∠ACO.
3) Аналогично в треугольнике BOC: ∠CBO > ∠BCO.
4) Луч CO проходит внутри угла ACB, поэтому ∠ACB = ∠ACO + ∠BCO. Следовательно,
∠CAB + ∠CBA > ∠ACB.
5) Сумма углов треугольника ACB равна 180°. Значит, ∠ACB меньше суммы двух остальных углов, то есть меньше 90°.Ответ: угол ACB острый.
Кратко Пусть O — центр окружности. Так как C лежит вне окружности, OC > OA = OB. Поэтому в треугольниках AOC и BOC:
∠CAO > ∠ACO, ∠CBO > ∠BCO.
Но ∠ACB = ∠ACO + ∠BCO, значит, сумма двух остальных углов треугольника ACB больше ∠ACB. Следовательно, ∠ACB < 90°.Ответ: угол ACB острый.
2) В треугольнике AOC против большей стороны OC лежит больший угол, поэтому ∠CAO > ∠ACO.
3) Аналогично в треугольнике BOC: ∠CBO > ∠BCO.
4) Луч CO проходит внутри угла ACB, поэтому ∠ACB = ∠ACO + ∠BCO. Следовательно,
∠CAB + ∠CBA > ∠ACB.
5) Сумма углов треугольника ACB равна 180°. Значит, ∠ACB меньше суммы двух остальных углов, то есть меньше 90°.Ответ: угол ACB острый.
Кратко Пусть O — центр окружности. Так как C лежит вне окружности, OC > OA = OB. Поэтому в треугольниках AOC и BOC:
∠CAO > ∠ACO, ∠CBO > ∠BCO.
Но ∠ACB = ∠ACO + ∠BCO, значит, сумма двух остальных углов треугольника ACB больше ∠ACB. Следовательно, ∠ACB < 90°.Ответ: угол ACB острый.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать неравенства BA > B₁A и BC > B₁CС пояснением
1) Так как BB₁ — биссектриса, то ∠ABB₁ = ∠B₁BC.
2) Угол ∠AB₁B — внешний угол треугольника CBB₁, поэтому ∠AB₁B > ∠B₁BC. Значит, в треугольнике ABB₁ угол ∠AB₁B больше угла ∠ABB₁. Против большего угла лежит большая сторона, следовательно, BA > B₁A.
3) Угол ∠CB₁B — внешний угол треугольника ABB₁, поэтому ∠CB₁B > ∠ABB₁. Значит, в треугольнике CBB₁ угол ∠CB₁B больше угла ∠B₁BC. Следовательно, BC > B₁C.
Ответ: BA > B₁A и BC > B₁C, что и требовалось доказать.
Кратко Так как BB₁ — биссектриса, ∠ABB₁ = ∠B₁BC. По свойству внешнего угла ∠AB₁B > ∠B₁BC, поэтому в треугольнике ABB₁ имеем BA > B₁A. Аналогично ∠CB₁B > ∠ABB₁, поэтому в треугольнике CBB₁ имеем BC > B₁C.
Ответ: BA > B₁A и BC > B₁C.
2) Угол ∠AB₁B — внешний угол треугольника CBB₁, поэтому ∠AB₁B > ∠B₁BC. Значит, в треугольнике ABB₁ угол ∠AB₁B больше угла ∠ABB₁. Против большего угла лежит большая сторона, следовательно, BA > B₁A.
3) Угол ∠CB₁B — внешний угол треугольника ABB₁, поэтому ∠CB₁B > ∠ABB₁. Значит, в треугольнике CBB₁ угол ∠CB₁B больше угла ∠B₁BC. Следовательно, BC > B₁C.
Ответ: BA > B₁A и BC > B₁C, что и требовалось доказать.
Кратко Так как BB₁ — биссектриса, ∠ABB₁ = ∠B₁BC. По свойству внешнего угла ∠AB₁B > ∠B₁BC, поэтому в треугольнике ABB₁ имеем BA > B₁A. Аналогично ∠CB₁B > ∠ABB₁, поэтому в треугольнике CBB₁ имеем BC > B₁C.
Ответ: BA > B₁A и BC > B₁C.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что если АВ — диаметр окружности и С — внешняя точка относительно этой окружности, не лежащая на прямой АВ, то угол АСВ острый.
Дано:
C леж.вне окр;
AB-диаметр;
Доказать:
угол ACB < 90°;
Решение:
1) На пересечении BC и данной
окружности построим точку E:
угол AEB=90°, угол AEC=90°;
2) В треугольнике AEC:
угол ACB=(90°-угол CAE) < 90°;
Что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Отрезок ВВ1 — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что ВА > В1А и ВС > В1С.
