Упр.247 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что треугольник равнобедренныйС пояснением
Пусть в треугольнике ABC сторона AB продолжена за точку A до точки D, AE — биссектриса внешнего угла DAC, причём AE ∥ BC.1) Так как AE — биссектриса угла DAC, то ∠DAE = ∠EAC.
2) При AE ∥ BC угол DAE равен углу ABC, а угол EAC равен углу BCA как углы, образованные секущими при параллельных прямых.
3) Следовательно, ∠ABC = ∠BCA. Значит, противолежащие им стороны равны: AC = AB.Ответ: треугольник ABC равнобедренный с основанием BC.
Кратко Пусть AE — биссектриса внешнего угла DAC и AE ∥ BC. Тогда ∠ABC = ∠DAE, ∠BCA = ∠EAC. Но ∠DAE = ∠EAC, поэтому ∠ABC = ∠BCA. Следовательно, AB = AC.Ответ: треугольник ABC равнобедренный.
2) При AE ∥ BC угол DAE равен углу ABC, а угол EAC равен углу BCA как углы, образованные секущими при параллельных прямых.
3) Следовательно, ∠ABC = ∠BCA. Значит, противолежащие им стороны равны: AC = AB.Ответ: треугольник ABC равнобедренный с основанием BC.
Кратко Пусть AE — биссектриса внешнего угла DAC и AE ∥ BC. Тогда ∠ABC = ∠DAE, ∠BCA = ∠EAC. Но ∠DAE = ∠EAC, поэтому ∠ABC = ∠BCA. Следовательно, AB = AC.Ответ: треугольник ABC равнобедренный.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать свойства точки пересечения CP и BQС пояснением
1) Так как AB = AC и AP = AQ, то BP = CQ. Кроме того, ∠PBC = ∠QCB как углы при основании равнобедренного треугольника ABC, а BC — общая сторона. Поэтому треугольники BCP и CBQ равны по двум сторонам и углу между ними.2) Из равенства этих треугольников следует, что ∠BCP = ∠CBQ. Поскольку O лежит на CP и BQ, получаем ∠BCO = ∠OBC. Значит, треугольник BOC равнобедренный и BO = CO.3) Также из равенства треугольников BCP и CBQ следует ∠BPC = ∠CQB. Тогда смежные с ними углы ∠APO и ∠AQO равны.4) Рассмотрим треугольники BOP и COQ. У них BO = CO, ∠BOP = ∠COQ как вертикальные, а ∠PBO = ∠QCO, поскольку эти углы получаются вычитанием равных углов ∠CBQ и ∠BCP из равных углов при основании ABC. Следовательно, треугольники BOP и COQ равны, поэтому OP = OQ.5) Треугольники AOP и AOQ равны по трём сторонам: AP = AQ, OP = OQ, AO — общая сторона. Поэтому ∠PAO = ∠QAO, то есть AO — биссектриса угла A.6) Пусть AO пересекает BC в точке D. Треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними: AB = AC, AD — общая сторона, ∠BAD = ∠DAC. Поэтому BD = DC и ∠ADB = ∠ADC. Эти углы смежные и равные, значит, каждый из них равен 90°. Следовательно, D — середина BC и AO ⟂ BC.Ответ: треугольник BOC равнобедренный; прямая OA проходит через середину BC и перпендикулярна BC.
Кратко 1) ΔBCP = ΔCBQ по двум сторонам и углу между ними: BP = CQ, BC — общая, ∠PBC = ∠QCB. Поэтому ∠BCO = ∠OBC, следовательно, BO = CO.
2) Из равенства этих треугольников и вертикальных углов получаем ΔBOP = ΔCOQ, значит, OP = OQ.
3) ΔAOP = ΔAOQ по трём сторонам, поэтому AO — биссектриса ∠A.
4) Биссектриса вершины равнобедренного треугольника одновременно является медианой и высотой.
Ответ: ΔBOC равнобедренный; OA проходит через середину BC и OA ⟂ BC.
Кратко 1) ΔBCP = ΔCBQ по двум сторонам и углу между ними: BP = CQ, BC — общая, ∠PBC = ∠QCB. Поэтому ∠BCO = ∠OBC, следовательно, BO = CO.
2) Из равенства этих треугольников и вертикальных углов получаем ΔBOP = ΔCOQ, значит, OP = OQ.
3) ΔAOP = ΔAOQ по трём сторонам, поэтому AO — биссектриса ∠A.
4) Биссектриса вершины равнобедренного треугольника одновременно является медианой и высотой.
Ответ: ΔBOC равнобедренный; OA проходит через середину BC и OA ⟂ BC.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.
Задание учебника 2023 года
На рисунке 130 АВ = АС, AP = AQ. Докажите, что:
а) треугольник ВОС — равнобедренный;
б) прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.
