Упр.252 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать свойства точки пересечения CP и BQС пояснением
1) Так как AB = AC и AP = AQ, то BP = CQ. Кроме того, ∠PBC = ∠QCB как углы при основании равнобедренного треугольника ABC, а BC — общая сторона. Поэтому треугольники BCP и CBQ равны по двум сторонам и углу между ними.2) Из равенства этих треугольников следует, что ∠BCP = ∠CBQ. Поскольку O лежит на CP и BQ, получаем ∠BCO = ∠OBC. Значит, треугольник BOC равнобедренный и BO = CO.3) Также из равенства треугольников BCP и CBQ следует ∠BPC = ∠CQB. Тогда смежные с ними углы ∠APO и ∠AQO равны.4) Рассмотрим треугольники BOP и COQ. У них BO = CO, ∠BOP = ∠COQ как вертикальные, а ∠PBO = ∠QCO, поскольку эти углы получаются вычитанием равных углов ∠CBQ и ∠BCP из равных углов при основании ABC. Следовательно, треугольники BOP и COQ равны, поэтому OP = OQ.5) Треугольники AOP и AOQ равны по трём сторонам: AP = AQ, OP = OQ, AO — общая сторона. Поэтому ∠PAO = ∠QAO, то есть AO — биссектриса угла A.6) Пусть AO пересекает BC в точке D. Треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними: AB = AC, AD — общая сторона, ∠BAD = ∠DAC. Поэтому BD = DC и ∠ADB = ∠ADC. Эти углы смежные и равные, значит, каждый из них равен 90°. Следовательно, D — середина BC и AO ⟂ BC.Ответ: треугольник BOC равнобедренный; прямая OA проходит через середину BC и перпендикулярна BC.
Кратко 1) ΔBCP = ΔCBQ по двум сторонам и углу между ними: BP = CQ, BC — общая, ∠PBC = ∠QCB. Поэтому ∠BCO = ∠OBC, следовательно, BO = CO.
2) Из равенства этих треугольников и вертикальных углов получаем ΔBOP = ΔCOQ, значит, OP = OQ.
3) ΔAOP = ΔAOQ по трём сторонам, поэтому AO — биссектриса ∠A.
4) Биссектриса вершины равнобедренного треугольника одновременно является медианой и высотой.
Ответ: ΔBOC равнобедренный; OA проходит через середину BC и OA ⟂ BC.
Кратко 1) ΔBCP = ΔCBQ по двум сторонам и углу между ними: BP = CQ, BC — общая, ∠PBC = ∠QCB. Поэтому ∠BCO = ∠OBC, следовательно, BO = CO.
2) Из равенства этих треугольников и вертикальных углов получаем ΔBOP = ΔCOQ, значит, OP = OQ.
3) ΔAOP = ΔAOQ по трём сторонам, поэтому AO — биссектриса ∠A.
4) Биссектриса вершины равнобедренного треугольника одновременно является медианой и высотой.
Ответ: ΔBOC равнобедренный; OA проходит через середину BC и OA ⟂ BC.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найдите две другие стороны треугольникаС пояснением
1) Внутренние углы, смежные с равными внешними углами, тоже равны. Значит, треугольник равнобедренный, так как против равных углов лежат равные стороны.
2) Если сторона 16 см — основание, то две другие стороны равны:
(74 − 16) : 2 = 29 (см).
3) Если сторона 16 см — боковая, то вторая боковая сторона также равна 16 см, а основание равно 74 − 16 − 16 = 42 см. Но такого треугольника не существует, потому что 16 + 16 < 42.
Ответ: 29 см и 29 см.
Кратко Треугольник равнобедренный, так как равным внешним углам соответствуют равные внутренние углы.
1) (74 − 16) : 2 = 29 (см).
Вариант со сторонами 16 см, 16 см и 42 см невозможен: 16 + 16 < 42.
Ответ: 29 см и 29 см.
2) Если сторона 16 см — основание, то две другие стороны равны:
(74 − 16) : 2 = 29 (см).
3) Если сторона 16 см — боковая, то вторая боковая сторона также равна 16 см, а основание равно 74 − 16 − 16 = 42 см. Но такого треугольника не существует, потому что 16 + 16 < 42.
Ответ: 29 см и 29 см.
Кратко Треугольник равнобедренный, так как равным внешним углам соответствуют равные внутренние углы.
1) (74 − 16) : 2 = 29 (см).
Вариант со сторонами 16 см, 16 см и 42 см невозможен: 16 + 16 < 42.
Ответ: 29 см и 29 см.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
На рисунке 130 АВ = АС, AP = AQ. Докажите, что:
а) треугольник ВОС — равнобедренный;
б) прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.
Задание учебника 2023 года
Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника.
