Упр.135 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Разбор 1 Доказать равенство треугольников ACO и A₁C₁O₁
Доказать равенство треугольников ACO и A₁C₁O₁С пояснением
1) ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по стороне и двум прилежащим к ней углам: BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁.2) Поэтому AC = A₁C₁, AB = A₁B₁ и ∠A = ∠A₁.3) Так как CO и C₁O₁ — медианы, точки O и O₁ являются серединами сторон AB и A₁B₁. Значит, AO = AB : 2, A₁O₁ = A₁B₁ : 2, поэтому AO = A₁O₁.4) Поскольку O лежит на AB, а O₁ лежит на A₁B₁, то ∠CAO = ∠C₁A₁O₁.Следовательно, ΔACO = ΔA₁C₁O₁ по двум сторонам и углу между ними.Ответ: ΔACO = ΔA₁C₁O₁.
Кратко ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по стороне BC = B₁C₁ и двум прилежащим углам. Поэтому AC = A₁C₁, AB = A₁B₁ и ∠A = ∠A₁.Так как CO и C₁O₁ — медианы, AO = AB : 2 и A₁O₁ = A₁B₁ : 2, следовательно, AO = A₁O₁. Кроме того, ∠CAO = ∠C₁A₁O₁.Значит, ΔACO = ΔA₁C₁O₁ по двум сторонам и углу между ними.Ответ: ΔACO = ΔA₁C₁O₁.
Кратко ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по стороне BC = B₁C₁ и двум прилежащим углам. Поэтому AC = A₁C₁, AB = A₁B₁ и ∠A = ∠A₁.Так как CO и C₁O₁ — медианы, AO = AB : 2 и A₁O₁ = A₁B₁ : 2, следовательно, AO = A₁O₁. Кроме того, ∠CAO = ∠C₁A₁O₁.Значит, ΔACO = ΔA₁C₁O₁ по двум сторонам и углу между ними.Ответ: ΔACO = ΔA₁C₁O₁.
Разбор 2 Доказать равенство треугольников BCO и B₁C₁O₁
Доказать равенство треугольников BCO и B₁C₁O₁С пояснением
1) Треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам: BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁. Поэтому AB = A₁B₁.
2) CO и C₁O₁ — медианы, значит, O и O₁ — середины сторон AB и A₁B₁. Следовательно, BO = AB : 2, B₁O₁ = A₁B₁ : 2, поэтому BO = B₁O₁.
3) Так как O лежит на AB, а O₁ лежит на A₁B₁, то ∠CBO = ∠B и ∠C₁B₁O₁ = ∠B₁. Значит, ∠CBO = ∠C₁B₁O₁.
4) В треугольниках BCO и B₁C₁O₁ равны две стороны и угол между ними: BC = B₁C₁, BO = B₁O₁ и ∠CBO = ∠C₁B₁O₁. Следовательно, эти треугольники равны по первому признаку.
Ответ: △BCO = △B₁C₁O₁.
Кратко △ABC = △A₁B₁C₁ по стороне BC и двум прилежащим к ней углам, поэтому AB = A₁B₁. Так как CO и C₁O₁ — медианы, то BO = B₁O₁. Кроме того, ∠CBO = ∠C₁B₁O₁. Следовательно, △BCO = △B₁C₁O₁ по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: △BCO = △B₁C₁O₁.
2) CO и C₁O₁ — медианы, значит, O и O₁ — середины сторон AB и A₁B₁. Следовательно, BO = AB : 2, B₁O₁ = A₁B₁ : 2, поэтому BO = B₁O₁.
3) Так как O лежит на AB, а O₁ лежит на A₁B₁, то ∠CBO = ∠B и ∠C₁B₁O₁ = ∠B₁. Значит, ∠CBO = ∠C₁B₁O₁.
4) В треугольниках BCO и B₁C₁O₁ равны две стороны и угол между ними: BC = B₁C₁, BO = B₁O₁ и ∠CBO = ∠C₁B₁O₁. Следовательно, эти треугольники равны по первому признаку.
Ответ: △BCO = △B₁C₁O₁.
Кратко △ABC = △A₁B₁C₁ по стороне BC и двум прилежащим к ней углам, поэтому AB = A₁B₁. Так как CO и C₁O₁ — медианы, то BO = B₁O₁. Кроме того, ∠CBO = ∠C₁B₁O₁. Следовательно, △BCO = △B₁C₁O₁ по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: △BCO = △B₁C₁O₁.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенство равносторонних треугольниковС пояснением
1) Пусть даны равносторонние треугольники ABC и A₁B₁C₁, причём AB = A₁B₁.
2) Так как треугольник ABC равносторонний, AB = BC = AC.
3) Так как треугольник A₁B₁C₁ равносторонний, A₁B₁ = B₁C₁ = A₁C₁.
4) Поэтому AB = A₁B₁, BC = B₁C₁ и AC = A₁C₁.
5) Следовательно, △ABC = △A₁B₁C₁ по трём сторонам.
Ответ: треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.
Кратко Пусть AB = A₁B₁. Так как оба треугольника равносторонние, то AB = BC = AC и A₁B₁ = B₁C₁ = A₁C₁. Значит, соответствующие стороны треугольников попарно равны, поэтому треугольники равны по трём сторонам.
Ответ: треугольники равны по третьему признаку.
2) Так как треугольник ABC равносторонний, AB = BC = AC.
3) Так как треугольник A₁B₁C₁ равносторонний, A₁B₁ = B₁C₁ = A₁C₁.
4) Поэтому AB = A₁B₁, BC = B₁C₁ и AC = A₁C₁.
5) Следовательно, △ABC = △A₁B₁C₁ по трём сторонам.
Ответ: треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.
Кратко Пусть AB = A₁B₁. Так как оба треугольника равносторонние, то AB = BC = AC и A₁B₁ = B₁C₁ = A₁C₁. Значит, соответствующие стороны треугольников попарно равны, поэтому треугольники равны по трём сторонам.
Ответ: треугольники равны по третьему признаку.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
В треугольниках ABC и А,Б,С, отрезки СО и С1О1 — медианы, ВС = В1С1, угол B — угол B1 и угол C = угол C1. Докажите, что:
а) треугольник АСО = треугольник А1С1О1;
б) треугольник ВСО = треугольник В1С1О1.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.
