Упр.130 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство углов и отрезковС пояснением
1) Так как O лежит на AC и BD, то ∠DAO = ∠DAC, а ∠OBC = ∠DBC. Поэтому ∠DAO = ∠OBC.
2) ∠AOD = ∠BOC как вертикальные углы.
3) AO = BO по условию. Следовательно, треугольники AOD и BOC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
4) Из равенства треугольников следует, что ∠ODA = ∠OCB и OD = OC.
5) Лучи DA и DO образуют угол BDA, так как точки B, O, D лежат на одной прямой. Аналогично ∠OCB = ∠ACB. Значит, ∠ACB = ∠BDA.
6) AC = AO + OC, BD = BO + OD. Так как AO = BO и OC = OD, то AC = BD.
Ответ: ∠ACB = ∠BDA, AC = BD.
Кратко Рассмотрим треугольники AOD и BOC. В них AO = BO, ∠DAO = ∠OBC по условию, а ∠AOD = ∠BOC как вертикальные. Поэтому треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда ∠ACB = ∠BDA и OC = OD. Тогда AC = AO + OC = BO + OD = BD.
Ответ: ∠ACB = ∠BDA, AC = BD.
2) ∠AOD = ∠BOC как вертикальные углы.
3) AO = BO по условию. Следовательно, треугольники AOD и BOC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
4) Из равенства треугольников следует, что ∠ODA = ∠OCB и OD = OC.
5) Лучи DA и DO образуют угол BDA, так как точки B, O, D лежат на одной прямой. Аналогично ∠OCB = ∠ACB. Значит, ∠ACB = ∠BDA.
6) AC = AO + OC, BD = BO + OD. Так как AO = BO и OC = OD, то AC = BD.
Ответ: ∠ACB = ∠BDA, AC = BD.
Кратко Рассмотрим треугольники AOD и BOC. В них AO = BO, ∠DAO = ∠OBC по условию, а ∠AOD = ∠BOC как вертикальные. Поэтому треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда ∠ACB = ∠BDA и OC = OD. Тогда AC = AO + OC = BO + OD = BD.
Ответ: ∠ACB = ∠BDA, AC = BD.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Доказать равенство треугольников ACO и A₁C₁O₁
Доказать равенство треугольников ACO и A₁C₁O₁С пояснением
1) ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по стороне и двум прилежащим к ней углам: BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁.2) Поэтому AC = A₁C₁, AB = A₁B₁ и ∠A = ∠A₁.3) Так как CO и C₁O₁ — медианы, точки O и O₁ являются серединами сторон AB и A₁B₁. Значит, AO = AB : 2, A₁O₁ = A₁B₁ : 2, поэтому AO = A₁O₁.4) Поскольку O лежит на AB, а O₁ лежит на A₁B₁, то ∠CAO = ∠C₁A₁O₁.Следовательно, ΔACO = ΔA₁C₁O₁ по двум сторонам и углу между ними.Ответ: ΔACO = ΔA₁C₁O₁.
Кратко ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по стороне BC = B₁C₁ и двум прилежащим углам. Поэтому AC = A₁C₁, AB = A₁B₁ и ∠A = ∠A₁.Так как CO и C₁O₁ — медианы, AO = AB : 2 и A₁O₁ = A₁B₁ : 2, следовательно, AO = A₁O₁. Кроме того, ∠CAO = ∠C₁A₁O₁.Значит, ΔACO = ΔA₁C₁O₁ по двум сторонам и углу между ними.Ответ: ΔACO = ΔA₁C₁O₁.
Кратко ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по стороне BC = B₁C₁ и двум прилежащим углам. Поэтому AC = A₁C₁, AB = A₁B₁ и ∠A = ∠A₁.Так как CO и C₁O₁ — медианы, AO = AB : 2 и A₁O₁ = A₁B₁ : 2, следовательно, AO = A₁O₁. Кроме того, ∠CAO = ∠C₁A₁O₁.Значит, ΔACO = ΔA₁C₁O₁ по двум сторонам и углу между ними.Ответ: ΔACO = ΔA₁C₁O₁.
Разбор 2 Доказать равенство треугольников BCO и B₁C₁O₁
Доказать равенство треугольников BCO и B₁C₁O₁С пояснением
1) Треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам: BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁. Поэтому AB = A₁B₁.
2) CO и C₁O₁ — медианы, значит, O и O₁ — середины сторон AB и A₁B₁. Следовательно, BO = AB : 2, B₁O₁ = A₁B₁ : 2, поэтому BO = B₁O₁.
3) Так как O лежит на AB, а O₁ лежит на A₁B₁, то ∠CBO = ∠B и ∠C₁B₁O₁ = ∠B₁. Значит, ∠CBO = ∠C₁B₁O₁.
4) В треугольниках BCO и B₁C₁O₁ равны две стороны и угол между ними: BC = B₁C₁, BO = B₁O₁ и ∠CBO = ∠C₁B₁O₁. Следовательно, эти треугольники равны по первому признаку.
Ответ: △BCO = △B₁C₁O₁.
Кратко △ABC = △A₁B₁C₁ по стороне BC и двум прилежащим к ней углам, поэтому AB = A₁B₁. Так как CO и C₁O₁ — медианы, то BO = B₁O₁. Кроме того, ∠CBO = ∠C₁B₁O₁. Следовательно, △BCO = △B₁C₁O₁ по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: △BCO = △B₁C₁O₁.
2) CO и C₁O₁ — медианы, значит, O и O₁ — середины сторон AB и A₁B₁. Следовательно, BO = AB : 2, B₁O₁ = A₁B₁ : 2, поэтому BO = B₁O₁.
3) Так как O лежит на AB, а O₁ лежит на A₁B₁, то ∠CBO = ∠B и ∠C₁B₁O₁ = ∠B₁. Значит, ∠CBO = ∠C₁B₁O₁.
4) В треугольниках BCO и B₁C₁O₁ равны две стороны и угол между ними: BC = B₁C₁, BO = B₁O₁ и ∠CBO = ∠C₁B₁O₁. Следовательно, эти треугольники равны по первому признаку.
Ответ: △BCO = △B₁C₁O₁.
Кратко △ABC = △A₁B₁C₁ по стороне BC и двум прилежащим к ней углам, поэтому AB = A₁B₁. Так как CO и C₁O₁ — медианы, то BO = B₁O₁. Кроме того, ∠CBO = ∠C₁B₁O₁. Следовательно, △BCO = △B₁C₁O₁ по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: △BCO = △B₁C₁O₁.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
На рисунке 74 уголDAC = уголDBC, АО = ВО. Докажите, что уголC = уголD и АС = BD.
Задание учебника 2023 года
В треугольниках ABC и А,Б,С, отрезки СО и С1О1 — медианы, ВС = В1С1, угол B — угол B1 и угол C = угол C1. Докажите, что:
а) треугольник АСО = треугольник А1С1О1;
б) треугольник ВСО = треугольник В1С1О1.
