Упр.133 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство соответствующих биссектрисС пояснением
Пусть △ABC = △A₁B₁C₁, причём BC = B₁C₁. Проведём биссектрисы AD и A₁D₁ к этим сторонам.1) Из равенства треугольников следует: AB = A₁B₁, ∠ABC = ∠A₁B₁C₁ и ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.
2) Так как AD и A₁D₁ — биссектрисы равных углов, то ∠BAD = ∠B₁A₁D₁.
3) Поскольку D лежит на BC, а D₁ — на B₁C₁, то ∠ABD = ∠A₁B₁D₁.
4) Следовательно, △ABD = △A₁B₁D₁ по стороне и двум прилежащим к ней углам.
5) Значит, их соответствующие стороны AD и A₁D₁ равны.Ответ: биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам равных треугольников, равны.
Кратко Пусть в равных треугольниках ABC и A₁B₁C₁ биссектрисы AD и A₁D₁ проведены к соответствующим сторонам BC и B₁C₁. Тогда AB = A₁B₁, ∠BAD = ∠B₁A₁D₁ и ∠ABD = ∠A₁B₁D₁. Поэтому △ABD = △A₁B₁D₁ по стороне и двум прилежащим углам, откуда AD = A₁D₁.Ответ: соответствующие биссектрисы равны.
2) Так как AD и A₁D₁ — биссектрисы равных углов, то ∠BAD = ∠B₁A₁D₁.
3) Поскольку D лежит на BC, а D₁ — на B₁C₁, то ∠ABD = ∠A₁B₁D₁.
4) Следовательно, △ABD = △A₁B₁D₁ по стороне и двум прилежащим к ней углам.
5) Значит, их соответствующие стороны AD и A₁D₁ равны.Ответ: биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам равных треугольников, равны.
Кратко Пусть в равных треугольниках ABC и A₁B₁C₁ биссектрисы AD и A₁D₁ проведены к соответствующим сторонам BC и B₁C₁. Тогда AB = A₁B₁, ∠BAD = ∠B₁A₁D₁ и ∠ABD = ∠A₁B₁D₁. Поэтому △ABD = △A₁B₁D₁ по стороне и двум прилежащим углам, откуда AD = A₁D₁.Ответ: соответствующие биссектрисы равны.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что треугольник равнобедренныйС пояснением
Пусть в треугольнике ABC отрезок AD — биссектриса и высота.
1) ∠BAD = ∠CAD, так как AD — биссектриса.
2) ∠ADB = ∠ADC = 90°, так как AD — высота.
3) Сторона AD — общая для треугольников ABD и ACD.
4) Значит, треугольники ABD и ACD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
5) Поэтому AB = AC как соответствующие стороны равных треугольников. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный.
Ответ: треугольник ABC равнобедренный.
Кратко Пусть AD — биссектриса и высота треугольника ABC. Тогда ∠BAD = ∠CAD, ∠ADB = ∠ADC = 90°, а AD — общая сторона. Значит, △ABD = △ACD по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому AB = AC.
Ответ: треугольник ABC равнобедренный.
1) ∠BAD = ∠CAD, так как AD — биссектриса.
2) ∠ADB = ∠ADC = 90°, так как AD — высота.
3) Сторона AD — общая для треугольников ABD и ACD.
4) Значит, треугольники ABD и ACD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
5) Поэтому AB = AC как соответствующие стороны равных треугольников. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный.
Ответ: треугольник ABC равнобедренный.
Кратко Пусть AD — биссектриса и высота треугольника ABC. Тогда ∠BAD = ∠CAD, ∠ADB = ∠ADC = 90°, а AD — общая сторона. Значит, △ABD = △ACD по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому AB = AC.
Ответ: треугольник ABC равнобедренный.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник — равнобедренный.
