Упр.139 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство равнобедренных треугольниковС пояснением
Пусть у равнобедренных треугольников ABC и DEF основания AB и DE соответственно. По условию AB = DE и ∠A = ∠D.1) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому ∠A = ∠B и ∠D = ∠E.
2) Так как ∠A = ∠D, то ∠B = ∠E.
3) Следовательно, AB = DE, ∠A = ∠D и ∠B = ∠E. Значит, △ABC = △DEF по стороне и двум прилежащим к ней углам.Ответ: равнобедренные треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.
Кратко Пусть AB и DE — основания равнобедренных треугольников ABC и DEF. По условию AB = DE и ∠A = ∠D. Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠B = ∠E. Поэтому △ABC = △DEF по стороне и двум прилежащим к ней углам.Ответ: треугольники равны по второму признаку.
2) Так как ∠A = ∠D, то ∠B = ∠E.
3) Следовательно, AB = DE, ∠A = ∠D и ∠B = ∠E. Значит, △ABC = △DEF по стороне и двум прилежащим к ней углам.Ответ: равнобедренные треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.
Кратко Пусть AB и DE — основания равнобедренных треугольников ABC и DEF. По условию AB = DE и ∠A = ∠D. Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠B = ∠E. Поэтому △ABC = △DEF по стороне и двум прилежащим к ней углам.Ответ: треугольники равны по второму признаку.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Доказать равенство углов ABE и ADF
Доказать равенство углов ABE и ADFС пояснением
1) Рассмотрим треугольники ABC и CDA. По условию AB = CD, BC = AD, а сторона AC — общая. Значит, треугольники ABC и CDA равны по трём сторонам.
2) Поэтому соответствующие углы ABC и CDA равны: ∠ABC = ∠CDA.
3) BE и DF — биссектрисы этих углов, следовательно, они делят равные углы пополам:
∠ABE = 1/2∠ABC, ∠ADF = 1/2∠CDA.
Значит, ∠ABE = ∠ADF.Ответ: ∠ABE = ∠ADF, что и требовалось доказать.
Кратко Треугольники ABC и CDA равны по трём сторонам: AB = CD, BC = AD, AC — общая. Поэтому ∠ABC = ∠CDA. Биссектрисы BE и DF делят эти равные углы пополам, значит, ∠ABE = ∠ADF.Ответ: ∠ABE = ∠ADF.
2) Поэтому соответствующие углы ABC и CDA равны: ∠ABC = ∠CDA.
3) BE и DF — биссектрисы этих углов, следовательно, они делят равные углы пополам:
∠ABE = 1/2∠ABC, ∠ADF = 1/2∠CDA.
Значит, ∠ABE = ∠ADF.Ответ: ∠ABE = ∠ADF, что и требовалось доказать.
Кратко Треугольники ABC и CDA равны по трём сторонам: AB = CD, BC = AD, AC — общая. Поэтому ∠ABC = ∠CDA. Биссектрисы BE и DF делят эти равные углы пополам, значит, ∠ABE = ∠ADF.Ответ: ∠ABE = ∠ADF.
Разбор 2 Доказать равенство треугольников ABE и CDF
Доказать равенство треугольников ABE и CDFС пояснением
1) Рассмотрим треугольники ABC и CDA. AB = CD, BC = AD по условию, AC — общая сторона. Следовательно, ΔABC = ΔCDA по трём сторонам.2) Из равенства треугольников следует, что ∠ABC = ∠CDA и ∠BAC = ∠DCA.3) BE и DF — биссектрисы равных углов, поэтому ∠ABE = ∠CDF.4) Так как E и F лежат на AC, то ∠BAE = ∠BAC, а ∠DCF = ∠DCA. Значит, ∠BAE = ∠DCF.5) В треугольниках ABE и CDF сторона AB = CD, а прилежащие к ним углы соответственно равны. Поэтому ΔABE = ΔCDF по стороне и двум прилежащим к ней углам.Ответ: треугольники ABE и CDF равны.
Кратко ΔABC = ΔCDA по трём сторонам: AB = CD, BC = AD, AC — общая. Поэтому ∠ABC = ∠CDA и ∠BAC = ∠DCA.Так как BE и DF — биссектрисы, то ∠ABE = ∠CDF. Кроме того, E, F ∈ AC, поэтому ∠BAE = ∠DCF. При AB = CD получаем ΔABE = ΔCDF по стороне и двум прилежащим углам.Ответ: ΔABE = ΔCDF.
Кратко ΔABC = ΔCDA по трём сторонам: AB = CD, BC = AD, AC — общая. Поэтому ∠ABC = ∠CDA и ∠BAC = ∠DCA.Так как BE и DF — биссектрисы, то ∠ABE = ∠CDF. Кроме того, E, F ∈ AC, поэтому ∠BAE = ∠DCF. При AB = CD получаем ΔABE = ΔCDF по стороне и двум прилежащим углам.Ответ: ΔABE = ΔCDF.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника.
Задание учебника 2023 года
На рисунке 76 АВ-CD, AD = BC, BE — биссектриса угла ABC, a DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что:
а) угол ABE = угол ADF;
б) треугольник АВЕ = треугольник CDF.
