Упр.1297 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство прямоугольников по двум сторонамС пояснением
1) Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. По условию AB = A₁B₁ и BC = B₁C₁, а углы ABC и A₁B₁C₁ равны 90°. Поэтому треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AC = A₁C₁.
2) В прямоугольниках противоположные стороны равны, поэтому CD = AB = A₁B₁ = C₁D₁ и AD = BC = B₁C₁ = A₁D₁.
3) Значит, треугольники ACD и A₁C₁D₁ равны по трём сторонам. Таким образом, оба прямоугольника состоят из попарно равных треугольников и потому равны.
Ответ: прямоугольники ABCD и A₁B₁C₁ равны.
Кратко Проведём диагонали AC и A₁C₁. Треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними: AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠ABC = ∠A₁B₁C₁ = 90°. Поэтому AC = A₁C₁. Противоположные стороны прямоугольников равны, значит треугольники ACD и A₁C₁D₁ также равны по трём сторонам. Следовательно, равны и прямоугольники.
Ответ: ABCD = A₁B₁C₁D₁.
2) В прямоугольниках противоположные стороны равны, поэтому CD = AB = A₁B₁ = C₁D₁ и AD = BC = B₁C₁ = A₁D₁.
3) Значит, треугольники ACD и A₁C₁D₁ равны по трём сторонам. Таким образом, оба прямоугольника состоят из попарно равных треугольников и потому равны.
Ответ: прямоугольники ABCD и A₁B₁C₁ равны.
Кратко Проведём диагонали AC и A₁C₁. Треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними: AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠ABC = ∠A₁B₁C₁ = 90°. Поэтому AC = A₁C₁. Противоположные стороны прямоугольников равны, значит треугольники ACD и A₁C₁D₁ также равны по трём сторонам. Следовательно, равны и прямоугольники.
Ответ: ABCD = A₁B₁C₁D₁.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить правильный треугольник по двум окружностям и прямойС пояснением
Пусть даны окружности ω₁, ω₂ и прямая l.1) Отразим окружность ω₂ симметрично относительно прямой l. Для этого отразим её центр O₂ относительно l и проведём окружность ω₂′ того же радиуса.
2) Найдём точки пересечения окружностей ω₁ и ω₂′. Выберем точку A, не лежащую на l.
3) Отразим A симметрично относительно l и получим точку B. Так как A лежит на ω₂′, точка B лежит на исходной окружности ω₂.
4) На отрезке AB построим правильный треугольник ABC. Можно выбрать любую из двух точек C, получаемых при построении.Обоснование. Точки A и B симметричны относительно l, поэтому прямая l является серединным перпендикуляром к отрезку AB. В правильном треугольнике высота, проведённая из вершины C к стороне AB, одновременно является серединным перпендикуляром к AB. Следовательно, эта высота лежит на прямой l.Если ω₁ и ω₂′ не пересекаются, решения нет. Каждая их точка пересечения, не лежащая на l, даёт два решения.Ответ: отразить одну окружность относительно данной прямой, взять точку её пересечения с другой окружностью, отразить эту точку обратно и на полученном отрезке построить правильный треугольник.
Кратко 1) Отразим вторую окружность относительно данной прямой l и получим окружность ω₂′.
2) Выберем точку A пересечения первой окружности с ω₂′, не лежащую на l.
3) Отразим A относительно l; получим точку B на второй окружности.
4) На отрезке AB построим правильный треугольник ABC. Его вершина C лежит на l, а высота из C — на прямой l.Ответ: искомый треугольник ABC построен; каждая подходящая точка пересечения даёт два положения вершины C.
2) Найдём точки пересечения окружностей ω₁ и ω₂′. Выберем точку A, не лежащую на l.
3) Отразим A симметрично относительно l и получим точку B. Так как A лежит на ω₂′, точка B лежит на исходной окружности ω₂.
4) На отрезке AB построим правильный треугольник ABC. Можно выбрать любую из двух точек C, получаемых при построении.Обоснование. Точки A и B симметричны относительно l, поэтому прямая l является серединным перпендикуляром к отрезку AB. В правильном треугольнике высота, проведённая из вершины C к стороне AB, одновременно является серединным перпендикуляром к AB. Следовательно, эта высота лежит на прямой l.Если ω₁ и ω₂′ не пересекаются, решения нет. Каждая их точка пересечения, не лежащая на l, даёт два решения.Ответ: отразить одну окружность относительно данной прямой, взять точку её пересечения с другой окружностью, отразить эту точку обратно и на полученном отрезке построить правильный треугольник.
Кратко 1) Отразим вторую окружность относительно данной прямой l и получим окружность ω₂′.
2) Выберем точку A пересечения первой окружности с ω₂′, не лежащую на l.
3) Отразим A относительно l; получим точку B на второй окружности.
4) На отрезке AB построим правильный треугольник ABC. Его вершина C лежит на l, а высота из C — на прямой l.Ответ: искомый треугольник ABC построен; каждая подходящая точка пересечения даёт два положения вершины C.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что если для прямоугольников ABCD и A_1B_1C_1D_1 выполняются равенства AB=A_1B_1 и BC=B_1C_1, то прямоугольники равны.
Задание учебника 2023 года
Даны две окружности и прямая. Постройте правильный треугольник так, чтобы две вершины лежали соответственно на данных окружностях, а высота, проведённая из третьей вершины, — на данной прямой.
