Упр.1294 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить трапецию по основаниям и диагоналямС пояснением
Пусть основания трапеции ABCD равны AB = a и CD = b, а диагонали — AC = d₁ и BD = d₂.1) Построим отрезок DC′ длиной a + b.
2) На нём отметим точку C так, чтобы DC = b, а CC′ = a.
3) Построим треугольник DBC′ по трём сторонам: DC′ = a + b, DB = d₂, BC′ = d₁.
4) Выполним параллельный перенос точки B на вектор C′C. Полученную точку обозначим A.
5) Соединим A с B и C. Четырёхугольник ABCD — искомая трапеция.Действительно, при переносе B переходит в A, а C′ — в C. Поэтому AB ∥ C′C и AB = C′C = a. Так как D, C и C′ лежат на одной прямой, то AB ∥ CD. Кроме того, AC = BC′ = d₁, а BD = d₂.Ответ: трапеция ABCD построена.
Кратко 1) Построить отрезок DC′, равный сумме оснований a + b.
2) Отметить на нём точку C так, чтобы DC = b и CC′ = a.
3) Построить треугольник DBC′, где DB и BC′ равны данным диагоналям.
4) Параллельным переносом на вектор C′C перевести B в A.
5) Соединить A с B и C.Ответ: ABCD — искомая трапеция.
2) На нём отметим точку C так, чтобы DC = b, а CC′ = a.
3) Построим треугольник DBC′ по трём сторонам: DC′ = a + b, DB = d₂, BC′ = d₁.
4) Выполним параллельный перенос точки B на вектор C′C. Полученную точку обозначим A.
5) Соединим A с B и C. Четырёхугольник ABCD — искомая трапеция.Действительно, при переносе B переходит в A, а C′ — в C. Поэтому AB ∥ C′C и AB = C′C = a. Так как D, C и C′ лежат на одной прямой, то AB ∥ CD. Кроме того, AC = BC′ = d₁, а BD = d₂.Ответ: трапеция ABCD построена.
Кратко 1) Построить отрезок DC′, равный сумме оснований a + b.
2) Отметить на нём точку C так, чтобы DC = b и CC′ = a.
3) Построить треугольник DBC′, где DB и BC′ равны данным диагоналям.
4) Параллельным переносом на вектор C′C перевести B в A.
5) Соединить A с B и C.Ответ: ABCD — искомая трапеция.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенство трапеций по четырём сторонамС пояснением
Пусть ABCD и A₁B₁C₁D₁ — трапеции, AB ∥ CD и A₁B₁ ∥ C₁D₁, причём соответствующие основания и боковые стороны равны. Будем считать AB и A₁B₁ большими основаниями.1) На основаниях AB и A₁B₁ отметим точки E и E₁ так, чтобы AE = CD и A₁E₁ = C₁D₁. Проведём CE ∥ AD и C₁E₁ ∥ A₁D₁.2) Четырёхугольники ADCE и A₁D₁C₁E₁ — параллелограммы. Поэтому CE = AD и C₁E₁ = A₁D₁.3) Рассмотрим треугольники EBC и E₁B₁C₁:
EB = AB − CD = A₁B₁ − C₁D₁ = E₁B₁,
BC = B₁C₁,
CE = AD = A₁D₁ = C₁E₁.
Следовательно, △EBC = △E₁B₁C₁ по трём сторонам.4) При совмещении этих треугольников точки E, B, C совпадут соответственно с E₁, B₁, C₁. Точки A и A₁ лежат на соответствующих продолжениях EB и E₁B₁, причём EA = E₁A₁. Вершины D и D₁ определяются построенными параллелограммами, поэтому они также совпадут.Значит, трапеции ABCD и A₁B₁C₁D₁ равны.Ответ: трапеции равны.
Кратко Пусть AB и A₁B₁ — большие основания. Отметим на них точки E и E₁ так, чтобы AE = CD и A₁E₁ = C₁D₁, и проведём CE ∥ AD, C₁E₁ ∥ A₁D₁.Тогда ADCE и A₁D₁C₁E₁ — параллелограммы, поэтому CE = AD и C₁E₁ = A₁D₁. Кроме того,
EB = AB − CD = A₁B₁ − C₁D₁ = E₁B₁.Следовательно, △EBC = △E₁B₁C₁ по трём сторонам. При их совмещении совпадут и достроенные к ним параллелограммы, а значит, совпадут исходные трапеции.Ответ: трапеции равны.
EB = AB − CD = A₁B₁ − C₁D₁ = E₁B₁,
BC = B₁C₁,
CE = AD = A₁D₁ = C₁E₁.
Следовательно, △EBC = △E₁B₁C₁ по трём сторонам.4) При совмещении этих треугольников точки E, B, C совпадут соответственно с E₁, B₁, C₁. Точки A и A₁ лежат на соответствующих продолжениях EB и E₁B₁, причём EA = E₁A₁. Вершины D и D₁ определяются построенными параллелограммами, поэтому они также совпадут.Значит, трапеции ABCD и A₁B₁C₁D₁ равны.Ответ: трапеции равны.
Кратко Пусть AB и A₁B₁ — большие основания. Отметим на них точки E и E₁ так, чтобы AE = CD и A₁E₁ = C₁D₁, и проведём CE ∥ AD, C₁E₁ ∥ A₁D₁.Тогда ADCE и A₁D₁C₁E₁ — параллелограммы, поэтому CE = AD и C₁E₁ = A₁D₁. Кроме того,
EB = AB − CD = A₁B₁ − C₁D₁ = E₁B₁.Следовательно, △EBC = △E₁B₁C₁ по трём сторонам. При их совмещении совпадут и достроенные к ним параллелограммы, а значит, совпадут исходные трапеции.Ответ: трапеции равны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Используя параллельный перенос, постройте трапецию по её основаниям и диагоналям.
1) Пусть требуется построить трапецию ABCD;
2) На произвольной прямой построим отрезок AD;
3) На этой же прямой построим отрезок DD_1=BC;
4) Из точки A проведем окружность радиуса AC;
5) Из точки D_1 проведем окружность радиуса BD;
6) Отметим точку C на пересечении окружностей;
7) В точке D проведем прямую параллельно CD_1;
8) На данной прямой построим отрезок BD.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что две трапеции равны, если основания и боковые стороны одной трапеции соответственно равны основаниям и боковым сторонам другой.
