Упр.1292 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать свойство прямых AA₁, BB₁ и CC₁С пояснением
1) Рассмотрим поворот вокруг точки O на 120° в направлении обхода вершин треугольников. Так как оба треугольника равносторонние и одинаково ориентированы, этот поворот переводит A в B, B в C, C в A, а также A₁ в B₁, B₁ в C₁, C₁ в A₁.2) Поэтому прямая AA₁ переходит в прямую BB₁, прямая BB₁ — в CC₁, а прямая CC₁ — в AA₁.3) Если одна из этих прямых проходит через O, то после поворотов на 120° через O проходят и две остальные. Значит, все три прямые проходят через O.4) Пусть ни одна из прямых не проходит через O. Прямая и её образ при повороте на 120° не могут быть параллельны, поэтому каждые две из данных прямых пересекаются. Обозначим:
P = AA₁ ∩ BB₁, Q = BB₁ ∩ CC₁, R = CC₁ ∩ AA₁.5) Поворот на 120° переводит P в Q, Q в R, R в P. Следовательно, OP = OQ = OR, а углы POQ, QOR и ROP равны 120°. Поэтому равные хорды PQ, QR и RP одной окружности стягивают равные центральные углы. Значит, PQ = QR = RP, то есть треугольник PQR равносторонний.Ответ: прямые AA₁, BB₁ и CC₁ либо проходят через O, либо при пересечении образуют равносторонний треугольник.
Кратко Поворот вокруг O на 120° переводит прямые AA₁ → BB₁ → CC₁ → AA₁.Если одна из них проходит через O, то через O проходят и остальные. Если они не проходят через O, обозначим точки их попарного пересечения через P, Q и R. Тот же поворот переводит P → Q → R → P, поэтому OP = OQ = OR и ∠POQ = ∠QOR = ∠ROP = 120°. Следовательно, PQ = QR = RP.Ответ: прямые либо проходят через O, либо образуют равносторонний треугольник.
P = AA₁ ∩ BB₁, Q = BB₁ ∩ CC₁, R = CC₁ ∩ AA₁.5) Поворот на 120° переводит P в Q, Q в R, R в P. Следовательно, OP = OQ = OR, а углы POQ, QOR и ROP равны 120°. Поэтому равные хорды PQ, QR и RP одной окружности стягивают равные центральные углы. Значит, PQ = QR = RP, то есть треугольник PQR равносторонний.Ответ: прямые AA₁, BB₁ и CC₁ либо проходят через O, либо при пересечении образуют равносторонний треугольник.
Кратко Поворот вокруг O на 120° переводит прямые AA₁ → BB₁ → CC₁ → AA₁.Если одна из них проходит через O, то через O проходят и остальные. Если они не проходят через O, обозначим точки их попарного пересечения через P, Q и R. Тот же поворот переводит P → Q → R → P, поэтому OP = OQ = OR и ∠POQ = ∠QOR = ∠ROP = 120°. Следовательно, PQ = QR = RP.Ответ: прямые либо проходят через O, либо образуют равносторонний треугольник.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать существование ровно двух движенийС пояснением
1) Построим движение f. Сначала выполним параллельный перенос, переводящий A в A₁, а затем поворот с центром A₁, переводящий полученный луч AB в луч A₁B₁. Так как AB = A₁B₁, точка B перейдёт в B₁. Значит, движение f существует.2) Пусть s — осевая симметрия относительно прямой A₁B₁. Она оставляет точки A₁ и B₁ на месте. Поэтому композиция s и f также переводит A в A₁, а B в B₁. Получены два движения: f и s ∘ f.3) Докажем, что других движений нет. Пусть g — любое движение, переводящее A в A₁ и B в B₁. Тогда движение h = g ∘ f⁻¹ оставляет неподвижными A₁ и B₁.Возьмём точку C, не лежащую на прямой A₁B₁. Поскольку h сохраняет расстояния до A₁ и B₁, точка C может перейти только в C или в точку, симметричную C относительно прямой A₁B₁.Если h(C) = C, то h оставляет неподвижными три точки A₁, B₁ и C, не лежащие на одной прямой, поэтому h является тождественным движением. Тогда g = f.Если h(C) = s(C), то движение s ∘ h оставляет неподвижными три не лежащие на одной прямой точки, следовательно, оно тождественное. Поэтому h = s и g = s ∘ f.Таким образом, существуют ровно два требуемых движения.Ответ: два движения: f и композиция осевой симметрии относительно прямой A₁B₁ с движением f.
Кратко Построим движение f: параллельным переносом совместим A с A₁, а поворотом вокруг A₁ направим образ отрезка AB вдоль A₁B₁. Так как AB = A₁B₁, точка B перейдёт в B₁.Второе движение — s ∘ f, где s — осевая симметрия относительно прямой A₁B₁.Любое другое движение g даёт движение g ∘ f⁻¹, неподвижными точками которого являются A₁ и B₁. Такое движение может быть только тождественным преобразованием или осевой симметрией относительно прямой A₁B₁. Следовательно, g = f или g = s ∘ f.Ответ: существуют ровно два движения.
Кратко Построим движение f: параллельным переносом совместим A с A₁, а поворотом вокруг A₁ направим образ отрезка AB вдоль A₁B₁. Так как AB = A₁B₁, точка B перейдёт в B₁.Второе движение — s ∘ f, где s — осевая симметрия относительно прямой A₁B₁.Любое другое движение g даёт движение g ∘ f⁻¹, неподвижными точками которого являются A₁ и B₁. Такое движение может быть только тождественным преобразованием или осевой симметрией относительно прямой A₁B₁. Следовательно, g = f или g = s ∘ f.Ответ: существуют ровно два движения.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
В окружность с центром О вписаны два равносторонних треугольника АВС и A_1B_1C_1, причём вершины обозначены
так, что направление обхода по дуге АВС от точки А к точке С совпадает с направлением обхода по дуге A_1B_1C_1 от точки A_1 к точке C_1. Используя поворот вокруг точки О, докажите, что прямые AA_1, BB_1 и CC_1 либо проходят через точку О, либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник.
Задание учебника 2023 года
Даны два равных отрезка АВ и А1В1. Докажите, что существуют два и только два движения, при которых точки А и В отображаются соответственно в точки А1 и В1.
