Упр.1295 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить равносторонний треугольник ABCС пояснением
1) Повернём прямую c вокруг точки A на 60° против часовой стрелки. Получим прямую c₁. Она пересечёт прямую b в точке B₁, так как угол между c₁ и b равен 60°.
2) Повернём точку B₁ вокруг A на 60° по часовой стрелке. Получим точку C₁ на прямой c. Тогда AB₁ = AC₁ и ∠B₁AC₁ = 60°, поэтому треугольник AB₁C₁ равносторонний.
3) Аналогично повернём прямую c на 60° по часовой стрелке. Её пересечение с b даст точку B₂. Поворотом B₂ вокруг A на 60° против часовой стрелки получим точку C₂ на прямой c. Треугольник AB₂C₂ также равносторонний.
4) При каждом из двух направлений поворота получается ровно одно пересечение, поэтому других решений нет.
Ответ: 2 решения.
Кратко Повернём прямую c вокруг точки A на 60° в каждую сторону. Каждая из двух полученных прямых пересечёт b в единственной точке B. Обратным поворотом этой точки на 60° получим точку C на прямой c. В обоих случаях треугольник ABC будет равносторонним.
Ответ: 2 решения.
2) Повернём точку B₁ вокруг A на 60° по часовой стрелке. Получим точку C₁ на прямой c. Тогда AB₁ = AC₁ и ∠B₁AC₁ = 60°, поэтому треугольник AB₁C₁ равносторонний.
3) Аналогично повернём прямую c на 60° по часовой стрелке. Её пересечение с b даст точку B₂. Поворотом B₂ вокруг A на 60° против часовой стрелки получим точку C₂ на прямой c. Треугольник AB₂C₂ также равносторонний.
4) При каждом из двух направлений поворота получается ровно одно пересечение, поэтому других решений нет.
Ответ: 2 решения.
Кратко Повернём прямую c вокруг точки A на 60° в каждую сторону. Каждая из двух полученных прямых пересечёт b в единственной точке B. Обратным поворотом этой точки на 60° получим точку C на прямой c. В обоих случаях треугольник ABC будет равносторонним.
Ответ: 2 решения.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенство треугольниковС пояснением
Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁:
BC = B₁C₁ = a, AC = A₁C₁ = b, причём a > b, а ∠A − ∠B = ∠A₁ − ∠B₁ = α.1) Большей стороне треугольника противолежит больший угол, поэтому ∠A > ∠B и ∠A₁ > ∠B₁. Следовательно,
∠A = ∠B + α, ∠A₁ = ∠B₁ + α.2) По теореме синусов:
a/b = sin ∠A / sin ∠B = sin(∠B + α) / sin ∠B.
Используя формулу синуса суммы, получим:
a/b = cos α + ctg ∠B · sin α.
Аналогично для второго треугольника:
a/b = cos α + ctg ∠B₁ · sin α.
Значит, ctg ∠B = ctg ∠B₁. Так как оба угла лежат между 0° и 180°, то ∠B = ∠B₁.3) Тогда из равенства разностей углов следует ∠A = ∠A₁. Поэтому
∠C = 180° − ∠A − ∠B = 180° − ∠A₁ − ∠B₁ = ∠C₁.4) Стороны a и b, заключающие равные углы C и C₁, соответственно равны. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.Ответ: треугольники равны.
Кратко Обозначим данные неравные стороны через a и b, где a > b, а противолежащие им углы — через A и B. Пусть A − B = α.По теореме синусов:
a/b = sin A / sin B = sin(B + α) / sin B = cos α + ctg B · sin α.В обоих треугольниках a, b и α одинаковы, поэтому ctg B одинаков, откуда соответствующие углы B равны. Тогда равны и углы A = B + α, а значит, равны третьи углы. Данные стороны a и b заключают равные третьи углы, поэтому треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.Ответ: треугольники равны.
BC = B₁C₁ = a, AC = A₁C₁ = b, причём a > b, а ∠A − ∠B = ∠A₁ − ∠B₁ = α.1) Большей стороне треугольника противолежит больший угол, поэтому ∠A > ∠B и ∠A₁ > ∠B₁. Следовательно,
∠A = ∠B + α, ∠A₁ = ∠B₁ + α.2) По теореме синусов:
a/b = sin ∠A / sin ∠B = sin(∠B + α) / sin ∠B.
Используя формулу синуса суммы, получим:
a/b = cos α + ctg ∠B · sin α.
Аналогично для второго треугольника:
a/b = cos α + ctg ∠B₁ · sin α.
Значит, ctg ∠B = ctg ∠B₁. Так как оба угла лежат между 0° и 180°, то ∠B = ∠B₁.3) Тогда из равенства разностей углов следует ∠A = ∠A₁. Поэтому
∠C = 180° − ∠A − ∠B = 180° − ∠A₁ − ∠B₁ = ∠C₁.4) Стороны a и b, заключающие равные углы C и C₁, соответственно равны. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.Ответ: треугольники равны.
Кратко Обозначим данные неравные стороны через a и b, где a > b, а противолежащие им углы — через A и B. Пусть A − B = α.По теореме синусов:
a/b = sin A / sin B = sin(B + α) / sin B = cos α + ctg B · sin α.В обоих треугольниках a, b и α одинаковы, поэтому ctg B одинаков, откуда соответствующие углы B равны. Тогда равны и углы A = B + α, а значит, равны третьи углы. Данные стороны a и b заключают равные третьи углы, поэтому треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.Ответ: треугольники равны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Даны параллельные прямые b и c и точка А, не лежащая ни на одной из них. Постройте равносторонний треугольник АВС так, чтобы вершины В и С лежали соответственно на прямых b и с. Сколько решений имеет задача?
1) Совершим поворот прямой c на 60° с центром A;
2) Отметим точку B на пересечении этой прямой с b;
3) Точка будет иной при повороте в другую сторону;
4) Из точки A проведем окружность с радиусом AB;
5) Отметим точку C на пересечении с прямой c.
Ответ: два.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что два треугольника равны, если две неравные стороны и разность противолежащих им углов одного треугольника соответственно равны двум сторонам и разности противолежащих им углов другого.
