Упр.1296 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Назвать соответственные элементы шестиугольниковС пояснением
1) Вершины A и D противоположны друг другу в порядке обхода шестиугольника. Им соответствуют вершины G и L.
2) Направление соответствия по условию не определено, поэтому возможны два варианта.При одинаковом направлении обхода:
∠A ↔ ∠G, ∠B ↔ ∠H, ∠C ↔ ∠K, ∠D ↔ ∠L, ∠E ↔ ∠M, ∠F ↔ ∠N;
AB ↔ GH, BC ↔ HK, CD ↔ KL, DE ↔ LM, EF ↔ MN, FA ↔ NG.При противоположном направлении обхода:
∠A ↔ ∠G, ∠B ↔ ∠N, ∠C ↔ ∠M, ∠D ↔ ∠L, ∠E ↔ ∠K, ∠F ↔ ∠H;
AB ↔ GN, BC ↔ NM, CD ↔ ML, DE ↔ LK, EF ↔ KH, FA ↔ HG.Ответ: по данным условия однозначно определить соответственные углы и стороны нельзя; возможны два указанных варианта.
Кратко Возможны два соответствия:1) A ↔ G, B ↔ H, C ↔ K, D ↔ L, E ↔ M, F ↔ N;
AB ↔ GH, BC ↔ HK, CD ↔ KL, DE ↔ LM, EF ↔ MN, FA ↔ NG.2) A ↔ G, B ↔ N, C ↔ M, D ↔ L, E ↔ K, F ↔ H;
AB ↔ GN, BC ↔ NM, CD ↔ ML, DE ↔ LK, EF ↔ KH, FA ↔ HG.Ответ: без чертежа направление соответствия определить нельзя, поэтому возможны два варианта.
2) Направление соответствия по условию не определено, поэтому возможны два варианта.При одинаковом направлении обхода:
∠A ↔ ∠G, ∠B ↔ ∠H, ∠C ↔ ∠K, ∠D ↔ ∠L, ∠E ↔ ∠M, ∠F ↔ ∠N;
AB ↔ GH, BC ↔ HK, CD ↔ KL, DE ↔ LM, EF ↔ MN, FA ↔ NG.При противоположном направлении обхода:
∠A ↔ ∠G, ∠B ↔ ∠N, ∠C ↔ ∠M, ∠D ↔ ∠L, ∠E ↔ ∠K, ∠F ↔ ∠H;
AB ↔ GN, BC ↔ NM, CD ↔ ML, DE ↔ LK, EF ↔ KH, FA ↔ HG.Ответ: по данным условия однозначно определить соответственные углы и стороны нельзя; возможны два указанных варианта.
Кратко Возможны два соответствия:1) A ↔ G, B ↔ H, C ↔ K, D ↔ L, E ↔ M, F ↔ N;
AB ↔ GH, BC ↔ HK, CD ↔ KL, DE ↔ LM, EF ↔ MN, FA ↔ NG.2) A ↔ G, B ↔ N, C ↔ M, D ↔ L, E ↔ K, F ↔ H;
AB ↔ GN, BC ↔ NM, CD ↔ ML, DE ↔ LK, EF ↔ KH, FA ↔ HG.Ответ: без чертежа направление соответствия определить нельзя, поэтому возможны два варианта.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать совпадение точек пересечения диагоналейС пояснением
Пусть ABCD — внешний параллелограмм, а KLMN — параллелограмм, у которого K ∈ AB, L ∈ BC, M ∈ CD, N ∈ DA.1) Обозначим векторы AB = a, AD = b. Тогда для некоторых чисел x, y, z, t:
AK = xa,
AL = a + yb,
AM = za + b,
AN = tb.2) Диагонали параллелограмма KLMN делятся точкой пересечения пополам, поэтому суммы радиус-векторов их концов равны:
AK + AM = AL + AN.Значит,
xa + za + b = a + yb + tb,
то есть
(x + z)a + b = a + (y + t)b.Так как векторы a и b не лежат на одной прямой, получаем:
x + z = 1, y + t = 1.3) Пусть O — середина диагонали KM. Тогда
AO = 1/2(AK + AM) = 1/2((x + z)a + b) = 1/2(a + b).Но в параллелограмме ABCD вектор от A до точки пересечения диагоналей также равен 1/2(a + b). Следовательно, O является точкой пересечения диагоналей обоих параллелограммов.Ответ: точки пересечения диагоналей параллелограммов совпадают.
Кратко Пусть ABCD — внешний параллелограмм, K ∈ AB, L ∈ BC, M ∈ CD, N ∈ DA, а KLMN — внутренний параллелограмм. Обозначим AB = a, AD = b.Запишем:
AK = xa, AL = a + yb, AM = za + b, AN = tb.Так как диагонали KLMN делятся пополам, то
AK + AM = AL + AN.
Отсюда
(x + z)a + b = a + (y + t)b,
поэтому x + z = 1 и y + t = 1.Середина KM задаётся вектором
1/2(AK + AM) = 1/2(a + b).
Таким же вектором задаётся точка пересечения диагоналей ABCD. Значит, точки пересечения диагоналей совпадают.Ответ: точки пересечения диагоналей параллелограммов совпадают.
AK = xa,
AL = a + yb,
AM = za + b,
AN = tb.2) Диагонали параллелограмма KLMN делятся точкой пересечения пополам, поэтому суммы радиус-векторов их концов равны:
AK + AM = AL + AN.Значит,
xa + za + b = a + yb + tb,
то есть
(x + z)a + b = a + (y + t)b.Так как векторы a и b не лежат на одной прямой, получаем:
x + z = 1, y + t = 1.3) Пусть O — середина диагонали KM. Тогда
AO = 1/2(AK + AM) = 1/2((x + z)a + b) = 1/2(a + b).Но в параллелограмме ABCD вектор от A до точки пересечения диагоналей также равен 1/2(a + b). Следовательно, O является точкой пересечения диагоналей обоих параллелограммов.Ответ: точки пересечения диагоналей параллелограммов совпадают.
Кратко Пусть ABCD — внешний параллелограмм, K ∈ AB, L ∈ BC, M ∈ CD, N ∈ DA, а KLMN — внутренний параллелограмм. Обозначим AB = a, AD = b.Запишем:
AK = xa, AL = a + yb, AM = za + b, AN = tb.Так как диагонали KLMN делятся пополам, то
AK + AM = AL + AN.
Отсюда
(x + z)a + b = a + (y + t)b,
поэтому x + z = 1 и y + t = 1.Середина KM задаётся вектором
1/2(AK + AM) = 1/2(a + b).
Таким же вектором задаётся точка пересечения диагоналей ABCD. Значит, точки пересечения диагоналей совпадают.Ответ: точки пересечения диагоналей параллелограммов совпадают.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Шестиугольники ABCDEF и GHKLMN, изображённые на рисунке 386, равны. Назовите их соответственные углы и сходственные стороны.
Задание учебника 2023 года
Вершины одного параллелограмма лежат соответственно на сторонах другого параллелограмма. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают.
