Упр.1286 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2023)
Решение #3 (Учебник 2023)ИИ
Доказать свойство шести точек треугольникаС пояснением
Обозначим углы треугольника ABC через x, 2x и 4x.1) x + 2x + 4x = 180°, поэтому
x = 180°/7.
Значит, ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = 4x.2) Воспользуемся известным свойством окружности девяти точек. Середины сторон и основания высот лежат на одной окружности. Кроме того, если положения вершин A, B, C на описанной окружности заданы угловыми координатами a, b, c, то на окружности девяти точек угловые координаты рассматриваемых точек равны:
A = 0, B = 8x, C = 10x,
причём 360° = 14x и 180° = 7x.4) Для середин сторон получаем координаты:
7x, 8x + 7x = 15x ≡ x, 10x + 7x = 17x ≡ 3x.Для оснований высот:
8x + 10x − 0 + 7x = 25x ≡ 11x,
10x + 0 − 8x + 7x = 9x,
0 + 8x − 10x + 7x = 5x.Итак, шесть точек имеют на одной окружности координаты
x, 3x, 5x, 7x, 9x, 11x.
Разность соседних координат равна
2x = 360°/7.
Следующая, седьмая, точка имела бы координату 13x. Следовательно, данные шесть точек являются шестью вершинами правильного семиугольника.Ответ: середины сторон и основания высот являются шестью вершинами правильного семиугольника.
Кратко Пусть углы треугольника равны x, 2x и 4x. Тогда
7x = 180°, поэтому 2x = 360°/7.Середины сторон и основания высот лежат на окружности девяти точек. По свойству этой окружности их угловые координаты можно записать как
x, 3x, 5x, 7x, 9x, 11x.Соседние точки разделены центральным углом 2x = 360°/7. Добавив точку с координатой 13x, получим правильный семиугольник.Ответ: данные шесть точек являются шестью вершинами правильного семиугольника.
x = 180°/7.
Значит, ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = 4x.2) Воспользуемся известным свойством окружности девяти точек. Середины сторон и основания высот лежат на одной окружности. Кроме того, если положения вершин A, B, C на описанной окружности заданы угловыми координатами a, b, c, то на окружности девяти точек угловые координаты рассматриваемых точек равны:
• для середин BC, CA, AB: a + 180°, b + 180°, c + 180°; • для оснований высот из A, B, C: b + c − a + 180°, c + a − b + 180°, a + b − c + 180°.Это свойство получается из гомотетии с центром в ортоцентре и коэффициентом 1/2; формулы для оснований высот следуют из прямых углов при них.3) Положим угловую координату A равной 0. На описанной окружности дуга AB, не содержащая C, равна 2∠C = 8x, а дуга AC, не содержащая B, равна 2∠B = 4x. Поэтому можно взять
A = 0, B = 8x, C = 10x,
причём 360° = 14x и 180° = 7x.4) Для середин сторон получаем координаты:
7x, 8x + 7x = 15x ≡ x, 10x + 7x = 17x ≡ 3x.Для оснований высот:
8x + 10x − 0 + 7x = 25x ≡ 11x,
10x + 0 − 8x + 7x = 9x,
0 + 8x − 10x + 7x = 5x.Итак, шесть точек имеют на одной окружности координаты
x, 3x, 5x, 7x, 9x, 11x.
Разность соседних координат равна
2x = 360°/7.
Следующая, седьмая, точка имела бы координату 13x. Следовательно, данные шесть точек являются шестью вершинами правильного семиугольника.Ответ: середины сторон и основания высот являются шестью вершинами правильного семиугольника.
Кратко Пусть углы треугольника равны x, 2x и 4x. Тогда
7x = 180°, поэтому 2x = 360°/7.Середины сторон и основания высот лежат на окружности девяти точек. По свойству этой окружности их угловые координаты можно записать как
x, 3x, 5x, 7x, 9x, 11x.Соседние точки разделены центральным углом 2x = 360°/7. Добавив точку с координатой 13x, получим правильный семиугольник.Ответ: данные шесть точек являются шестью вершинами правильного семиугольника.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Найдите симметрии фигуры F, данной на рисунке 377.
Фигура F имеет пять осей симметрии, проходящих через противолежащие вершины, а также поворотные симметрии с центром в точке O и углом 72° по часовой стрелке и против часовой стрелки, это следует из того, что выпуклый пятиугольник является правильным, а все треугольники равны между собой;
Задание учебника 2023 года
Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Докажите, что середины сторон и основания высот этого треугольника являются шестью вершинами правильного семиугольника.
