Упр.1281 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство отрезков внутри квадратаС пояснением
Пусть O — центр квадрата, а взаимно перпендикулярные прямые пересекают его стороны в точках M, N и P, Q соответственно.1) Выполним поворот квадрата на 90° вокруг точки O. При таком повороте квадрат переходит сам в себя.
2) Прямая MN переходит в перпендикулярную ей прямую, проходящую через O, то есть в прямую PQ.
3) Поэтому отрезок MN переходит в отрезок PQ. Поворот сохраняет длины, следовательно, MN = PQ.Ответ: отрезки прямых, заключённые внутри квадрата, равны.
Кратко При повороте на 90° вокруг центра квадрат переходит сам в себя, а одна из проведённых прямых — в другую. Поворот сохраняет длины, поэтому заключённые внутри квадрата отрезки равны.Ответ: отрезки равны.
2) Прямая MN переходит в перпендикулярную ей прямую, проходящую через O, то есть в прямую PQ.
3) Поэтому отрезок MN переходит в отрезок PQ. Поворот сохраняет длины, следовательно, MN = PQ.Ответ: отрезки прямых, заключённые внутри квадрата, равны.
Кратко При повороте на 90° вокруг центра квадрат переходит сам в себя, а одна из проведённых прямых — в другую. Поворот сохраняет длины, поэтому заключённые внутри квадрата отрезки равны.Ответ: отрезки равны.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать симметрию центров O и O₁С пояснением
Обозначим через O′ точку, симметричную O относительно прямой AC.1) В треугольнике A₁A₂A₃ отрезок AB соединяет середины сторон A₁A₂ и A₂A₃, поэтому AB ∥ A₁A₃. Аналогично BC ∥ A₂A₄. Отсюда AB = BC, следовательно, треугольник ABC равнобедренный.2) Четырёхугольник A₁A₂A₃A₄ — равнобедренная трапеция с основаниями A₁A₄ и A₂A₃. Отрезок AC соединяет середины её боковых сторон, поэтому AC ∥ A₂A₃.Радиус OB, проведённый к середине хорды A₂A₃, перпендикулярен ей. Значит, OB ⟂ AC. Так как O и O′ симметричны относительно AC, точка O′ лежит на прямой OB. В равнобедренном треугольнике ABC эта прямая является биссектрисой угла ABC.3) Внутренний угол правильного пятиугольника равен 108°. Поскольку OA ⟂ A₁A₂ и AC ∥ A₂A₃, получаем:
∠OAC = 108° − 90° = 18°.При симметрии относительно AC луч AO переходит в луч AO′, поэтому:
∠O′AC = ∠OAC = 18°.4) В равнобедренном треугольнике A₁A₂A₃ угол при вершине A₂ равен 108°, поэтому:
∠A₁A₃A₂ = (180° − 108°) : 2 = 36°.Так как AB ∥ A₁A₃ и AC ∥ A₂A₃, то ∠BAC = 36°. Следовательно, AO′ делит угол BAC пополам.Итак, O′ лежит на биссектрисах углов A и B треугольника ABC, значит, O′ — центр его вписанной окружности, то есть O′ = O₁. Поэтому точки O и O₁ симметричны относительно прямой AC.Ответ: O и O₁ симметричны относительно прямой AC.
Кратко Пусть O′ — точка, симметричная O относительно AC. Так как AC ∥ A₂A₃, а OB ⟂ A₂A₃, то O′ лежит на биссектрисе угла B равнобедренного треугольника ABC.Кроме того, ∠OAC = 108° − 90° = 18°. По симметрии ∠O′AC = 18°. При этом ∠BAC = 36°, поэтому AO′ — биссектриса угла A.Следовательно, O′ — точка пересечения биссектрис треугольника ABC, то есть O′ = O₁.Ответ: центры O и O₁ симметричны относительно прямой AC.
∠OAC = 108° − 90° = 18°.При симметрии относительно AC луч AO переходит в луч AO′, поэтому:
∠O′AC = ∠OAC = 18°.4) В равнобедренном треугольнике A₁A₂A₃ угол при вершине A₂ равен 108°, поэтому:
∠A₁A₃A₂ = (180° − 108°) : 2 = 36°.Так как AB ∥ A₁A₃ и AC ∥ A₂A₃, то ∠BAC = 36°. Следовательно, AO′ делит угол BAC пополам.Итак, O′ лежит на биссектрисах углов A и B треугольника ABC, значит, O′ — центр его вписанной окружности, то есть O′ = O₁. Поэтому точки O и O₁ симметричны относительно прямой AC.Ответ: O и O₁ симметричны относительно прямой AC.
Кратко Пусть O′ — точка, симметричная O относительно AC. Так как AC ∥ A₂A₃, а OB ⟂ A₂A₃, то O′ лежит на биссектрисе угла B равнобедренного треугольника ABC.Кроме того, ∠OAC = 108° − 90° = 18°. По симметрии ∠O′AC = 18°. При этом ∠BAC = 36°, поэтому AO′ — биссектриса угла A.Следовательно, O′ — точка пересечения биссектрис треугольника ABC, то есть O′ = O₁.Ответ: центры O и O₁ симметричны относительно прямой AC.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что отрезки прямых, заключённые внутри квадрата, равны.
Задание учебника 2023 года
Около правильного пятиугольника А1А2А3А4А5 описана окружность с центром О. Вершинами треугольника ABC являются середины сторон А1А2, А2А3 и А3А4 пятиугольника. Докажите, что центр О данной окружности и центр О1 окружности, вписанной в треугольник ABC, симметричны относительно прямой АС.
