Упр.1285 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить квадрат по центру и двум точкамС пояснением
Пусть O — данный центр, M и N — данные точки.1) Построим точки M₁ и N₁, симметричные соответственно M и N относительно O.
2) Проведём прямые MN₁ и NM₁. Они параллельны и содержат две противоположные стороны искомого квадрата.
3) Из O опустим перпендикуляр OH на прямую MN₁.
4) Через O проведём прямую a, параллельную MN₁. На ней отложим в разные стороны от O отрезки OP и OQ, равные OH.
5) Через P и Q проведём прямые, перпендикулярные a. Точки их пересечения с прямыми MN₁ и NM₁ являются вершинами искомого квадрата.Обоснование. При центральной симметрии относительно O одна прямая, содержащая сторону квадрата, переходит в прямую, содержащую противоположную сторону. Поэтому MN₁ и NM₁ — параллельные прямые, равноудалённые от O. Построенные четыре прямые ограничивают прямоугольник. Расстояние от O до каждой пары его противоположных сторон равно OH, поэтому соседние стороны прямоугольника равны. Следовательно, построенный прямоугольник является квадратом.Ответ: вершины квадрата — точки пересечения построенных двух пар параллельных прямых.
Кратко 1) Отразим точки M и N относительно центра O, получив M₁ и N₁.
2) Проведём параллельные прямые MN₁ и NM₁.
3) Опустим OH ⟂ MN₁ и через O проведём прямую a ∥ MN₁.
4) На a отложим OP = OQ = OH в противоположных направлениях.
5) Через P и Q проведём перпендикуляры к a. Их пересечения с MN₁ и NM₁ дадут вершины квадрата.Ответ: искомый квадрат построен по четырём полученным точкам пересечения.
2) Проведём прямые MN₁ и NM₁. Они параллельны и содержат две противоположные стороны искомого квадрата.
3) Из O опустим перпендикуляр OH на прямую MN₁.
4) Через O проведём прямую a, параллельную MN₁. На ней отложим в разные стороны от O отрезки OP и OQ, равные OH.
5) Через P и Q проведём прямые, перпендикулярные a. Точки их пересечения с прямыми MN₁ и NM₁ являются вершинами искомого квадрата.Обоснование. При центральной симметрии относительно O одна прямая, содержащая сторону квадрата, переходит в прямую, содержащую противоположную сторону. Поэтому MN₁ и NM₁ — параллельные прямые, равноудалённые от O. Построенные четыре прямые ограничивают прямоугольник. Расстояние от O до каждой пары его противоположных сторон равно OH, поэтому соседние стороны прямоугольника равны. Следовательно, построенный прямоугольник является квадратом.Ответ: вершины квадрата — точки пересечения построенных двух пар параллельных прямых.
Кратко 1) Отразим точки M и N относительно центра O, получив M₁ и N₁.
2) Проведём параллельные прямые MN₁ и NM₁.
3) Опустим OH ⟂ MN₁ и через O проведём прямую a ∥ MN₁.
4) На a отложим OP = OQ = OH в противоположных направлениях.
5) Через P и Q проведём перпендикуляры к a. Их пересечения с MN₁ и NM₁ дадут вершины квадрата.Ответ: искомый квадрат построен по четырём полученным точкам пересечения.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что сумма расстояний равна nrС пояснением
Обозначим сторону правильного n-угольника через a, а расстояния от точки M до прямых, содержащих его стороны, — через d₁, d₂, …, dₙ.1) Соединим точку M со всеми вершинами многоугольника. Получатся n треугольников с основаниями a и высотами d₁, d₂, …, dₙ. Поэтому площадь многоугольника равна:
S = 1/2·a(d₁ + d₂ + … + dₙ).2) Площадь правильного многоугольника также равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности:
S = 1/2·na·r.3) Приравняем выражения для площади:
1/2·a(d₁ + d₂ + … + dₙ) = 1/2·na·r,
откуда
d₁ + d₂ + … + dₙ = nr.Ответ: сумма длин перпендикуляров равна nr.
Кратко Пусть a — сторона многоугольника, а d₁, d₂, …, dₙ — расстояния от M до прямых, содержащих стороны.Площадь многоугольника:
S = 1/2·a(d₁ + d₂ + … + dₙ).С другой стороны:
S = 1/2·nar.Следовательно,
d₁ + d₂ + … + dₙ = nr.Ответ: nr.
S = 1/2·a(d₁ + d₂ + … + dₙ).2) Площадь правильного многоугольника также равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности:
S = 1/2·na·r.3) Приравняем выражения для площади:
1/2·a(d₁ + d₂ + … + dₙ) = 1/2·na·r,
откуда
d₁ + d₂ + … + dₙ = nr.Ответ: сумма длин перпендикуляров равна nr.
Кратко Пусть a — сторона многоугольника, а d₁, d₂, …, dₙ — расстояния от M до прямых, содержащих стороны.Площадь многоугольника:
S = 1/2·a(d₁ + d₂ + … + dₙ).С другой стороны:
S = 1/2·nar.Следовательно,
d₁ + d₂ + … + dₙ = nr.Ответ: nr.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Постройте квадрат, если даны его центр и две точки, лежащие на прямых, содержащих параллельные стороны квадрата.
1) Пусть дан центр O и точки E и F на прямых AB и CD;
2) Построим отрезок EF и отметим середину G отрезка;
3) Через точки E и F проведем прямые параллельно OG;
4) В точке O построим перпендикуляр к этим прямым;
5) Отметим точки M и N на пересечениях с прямыми;
6) На прямой EM отложим отрезки AM=MB=OM;
7) На прямой FN отложим отрезки DN=CN=ON;
8) Четырехугольник ABCD-искомый квадрат.
Задание учебника 2023 года
Пусть М — произвольная точка, лежащая внутри правильного n-угольника. Докажите, что сумма перпендикуляров, проведённых из точки М к прямым, содержащим стороны n-угольника, равна nr, где r— радиус вписанной окружности.
