Упр.1279 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Варианты решения:
Построить фигуры с переносной симметриейС пояснением
1) Прямоугольные треугольники. Составим из двух равных прямоугольных треугольников прямоугольник, совместив их гипотенузы. Повторим такой прямоугольник по горизонтали и вертикали. Полученная фигура совмещается с собой при переносе на длину или ширину прямоугольника.2) Ромбы. Построим ряд из равных ромбов, прикладывая их друг к другу равными сторонами. Затем повторим этот ряд параллельно самому себе. Перенос на вектор, равный стороне ромба, направленный вдоль ряда, совмещает фигуру с собой.3) Равнобедренные трапеции. К боковой стороне равнобедренной трапеции приложим равную ей трапецию, полученную поворотом первой на 180° вокруг середины этой стороны. Две трапеции образуют параллелограмм. Повторим такой параллелограмм в двух направлениях. Перенос на вектор, равный одной из сторон параллелограмма, совмещает фигуру с собой.Ответ: орнаменты из повторяющихся прямоугольников, рядов ромбов и параллелограммов обладают переносной симметрией.
Кратко а) Из двух равных прямоугольных треугольников составить прямоугольник и повторить его рядами.
б) Выложить равные ромбы одинаково направленными параллельными рядами.
в) Из двух равных равнобедренных трапеций составить параллелограмм и повторить его в двух направлениях.Ответ: полученные периодические орнаменты имеют переносную симметрию.
Кратко а) Из двух равных прямоугольных треугольников составить прямоугольник и повторить его рядами.
б) Выложить равные ромбы одинаково направленными параллельными рядами.
в) Из двух равных равнобедренных трапеций составить параллелограмм и повторить его в двух направлениях.Ответ: полученные периодические орнаменты имеют переносную симметрию.
Построить фигуры с переносной симметриейа) Составить «вертушку» из четырёх равных прямоугольных треугольников с общей вершиной прямых углов. Повторить её переносами на одинаковое расстояние по горизонтали и вертикали.
б) Составить шестилучевую звезду из шести равных ромбов с углами 60° и 120°. Разместить копии звезды в узлах квадратной сетки.
в) Расположить четыре равные равнобедренные трапеции вокруг квадратного отверстия, обратив к нему меньшие основания. Повторить полученную фигуру в двух направлениях.Ответ: построены три периодические фигуры, совмещающиеся с собой при параллельном переносе.
б) Составить шестилучевую звезду из шести равных ромбов с углами 60° и 120°. Разместить копии звезды в узлах квадратной сетки.
в) Расположить четыре равные равнобедренные трапеции вокруг квадратного отверстия, обратив к нему меньшие основания. Повторить полученную фигуру в двух направлениях.Ответ: построены три периодические фигуры, совмещающиеся с собой при параллельном переносе.
Построить фигуры с переносной симметриейа) Соединить два равных прямоугольных треугольника равными катетами, получив воздушного «змея». Разместить копии такого элемента через одинаковые промежутки в узлах прямоугольной сетки.
б) Взять ромбы с углами 60° и 120°. Соединить три равных ромба тупыми вершинами в одной точке и повторить полученный элемент переносами по двум направлениям.
в) Соединить две равные равнобедренные трапеции меньшими основаниями, расположив их по разные стороны от общего основания. Повторить этот элемент в шахматном порядке через равные промежутки.Ответ: построены три фигуры, каждая из которых совмещается с собой при переносе на заданный период.
б) Взять ромбы с углами 60° и 120°. Соединить три равных ромба тупыми вершинами в одной точке и повторить полученный элемент переносами по двум направлениям.
в) Соединить две равные равнобедренные трапеции меньшими основаниями, расположив их по разные стороны от общего основания. Повторить этот элемент в шахматном порядке через равные промежутки.Ответ: построены три фигуры, каждая из которых совмещается с собой при переносе на заданный период.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать подобие треугольников и равенство отрезковС пояснением
1) Центральный угол правильного десятиугольника:
∠AOB = 360° : 10 = 36°.Так как OA = OB, то треугольник OAB равнобедренный:
∠OAB = ∠OBA = (180° − 36°) : 2 = 72°.2) AC — биссектриса угла OAB, поэтому
∠OAC = ∠CAB = 72° : 2 = 36°.Поскольку C лежит на BO, имеем ∠ABC = ∠ABO = 72°. Следовательно,
∠ACB = 180° − 36° − 72° = 72°.Таким образом, ∠BAC = ∠AOB = 36°, ∠ABC = ∠OAB = 72°. Значит, треугольники ABC и OAB подобны по двум углам:
△ABC ∼ △OAB.3) В треугольнике ABC углы при B и C равны, поэтому AB = AC.
В треугольнике AOC углы ∠OAC и ∠AOC равны 36°, поэтому AC = OC.
Следовательно, AB = AC = OC.4) Обозначим AB = AC = OC = x. Тогда OB = R, поэтому BC = R − x.
Из подобия треугольников:
AB/OA = BC/AB,
то есть
x/R = (R − x)/x.Отсюда:
x² = R(R − x),
x² + Rx − R² = 0.Положительный корень уравнения:
x = (−R + √(R² + 4R²))/2 = (√5 − 1)R/2.Ответ: △ABC ∼ △OAB; AB = AC = OC = (√5 − 1)R/2.
Кратко ∠AOB = 360° : 10 = 36°, а ∠OAB = ∠OBA = 72°.
Так как AC — биссектриса, то ∠BAC = 36°. Кроме того, ∠ABC = 72°, значит, △ABC ∼ △OAB по двум углам.∠ABC = ∠ACB, поэтому AB = AC. Также ∠OAC = ∠AOC = 36°, поэтому AC = OC.Пусть AB = AC = OC = x. Тогда BC = R − x. Из подобия:
x/R = (R − x)/x,
x² + Rx − R² = 0,
x = (√5 − 1)R/2.Ответ: △ABC ∼ △OAB; AB = AC = OC = (√5 − 1)R/2.
∠AOB = 360° : 10 = 36°.Так как OA = OB, то треугольник OAB равнобедренный:
∠OAB = ∠OBA = (180° − 36°) : 2 = 72°.2) AC — биссектриса угла OAB, поэтому
∠OAC = ∠CAB = 72° : 2 = 36°.Поскольку C лежит на BO, имеем ∠ABC = ∠ABO = 72°. Следовательно,
∠ACB = 180° − 36° − 72° = 72°.Таким образом, ∠BAC = ∠AOB = 36°, ∠ABC = ∠OAB = 72°. Значит, треугольники ABC и OAB подобны по двум углам:
△ABC ∼ △OAB.3) В треугольнике ABC углы при B и C равны, поэтому AB = AC.
В треугольнике AOC углы ∠OAC и ∠AOC равны 36°, поэтому AC = OC.
Следовательно, AB = AC = OC.4) Обозначим AB = AC = OC = x. Тогда OB = R, поэтому BC = R − x.
Из подобия треугольников:
AB/OA = BC/AB,
то есть
x/R = (R − x)/x.Отсюда:
x² = R(R − x),
x² + Rx − R² = 0.Положительный корень уравнения:
x = (−R + √(R² + 4R²))/2 = (√5 − 1)R/2.Ответ: △ABC ∼ △OAB; AB = AC = OC = (√5 − 1)R/2.
Кратко ∠AOB = 360° : 10 = 36°, а ∠OAB = ∠OBA = 72°.
Так как AC — биссектриса, то ∠BAC = 36°. Кроме того, ∠ABC = 72°, значит, △ABC ∼ △OAB по двум углам.∠ABC = ∠ACB, поэтому AB = AC. Также ∠OAC = ∠AOC = 36°, поэтому AC = OC.Пусть AB = AC = OC = x. Тогда BC = R − x. Из подобия:
x/R = (R − x)/x,
x² + Rx − R² = 0,
x = (√5 − 1)R/2.Ответ: △ABC ∼ △OAB; AB = AC = OC = (√5 − 1)R/2.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Постройте фигуру, обладающую переносной симметрией, составленную из равных а) прямоугольных треугольников; б) ромбов; в) равнобедренных трапеций.
Задание учебника 2023 года
На рисунке 370 изображён правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса R, АС — биссектриса угла ОАВ. Докажите, что: a) треугольник ABC подобен треугольникОАВ; б) АВ = АС = ОС =корень5 - 1/2R.
