Упр.1278 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Возможны ли две параллельные оси симметрии многоугольника?С пояснением
1) Предположим, что многоугольник имеет две различные параллельные оси симметрии.
2) Последовательное отражение относительно двух параллельных прямых является параллельным переносом на расстояние, равное удвоенному расстоянию между ними.
3) Значит, многоугольник совмещался бы с собой при ненулевом параллельном переносе. При многократном повторении такого переноса каждая его вершина переходила бы во всё новые точки, что невозможно для многоугольника с конечным числом вершин.
Ответ: нет, многоугольник не может иметь две различные параллельные оси симметрии.
Кратко Две различные параллельные оси симметрии невозможны: композиция отражений относительно них является ненулевым параллельным переносом. Тогда при повторении переноса у многоугольника появлялись бы всё новые вершины, хотя их число конечно.
Ответ: нет, не может.
2) Последовательное отражение относительно двух параллельных прямых является параллельным переносом на расстояние, равное удвоенному расстоянию между ними.
3) Значит, многоугольник совмещался бы с собой при ненулевом параллельном переносе. При многократном повторении такого переноса каждая его вершина переходила бы во всё новые точки, что невозможно для многоугольника с конечным числом вершин.
Ответ: нет, многоугольник не может иметь две различные параллельные оси симметрии.
Кратко Две различные параллельные оси симметрии невозможны: композиция отражений относительно них является ненулевым параллельным переносом. Тогда при повторении переноса у многоугольника появлялись бы всё новые вершины, хотя их число конечно.
Ответ: нет, не может.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти расстояние от A до ортоцентраС пояснением
Обозначим точку пересечения высот через O, а HM=x. Расположим BC на оси координат: H(0; 0), A(0; h), M(x; 0), N(x/2; 0). Пусть B(x−d; 0), C(x+d; 0).1) Из прямоугольного треугольника AHM:
x²=AM²−AH²=l²−h².2) По теореме о биссектрисе:
AB/AC=BN/NC=(d−x/2)/(d+x/2).
При этом
AB²=h²+(d−x)²,
AC²=h²+(d+x)².
После возведения равенства в квадрат и упрощения получаем:
d²=h²+x²/2.3) Высота из B перпендикулярна AC. Из подобия соответствующих прямоугольных треугольников получаем:
HO=(d²−x²)/h=h−x²/(2h).
Следовательно,
AO=AH−HO=x²/(2h).4) Подставим x²=l²−h²:
AO=(l²−h²)/(2h).Ответ: (l²−h²)/(2h). Если l=h, то M=H и условие не определяет расстояние до ортоцентра однозначно.
Кратко Пусть O — точка пересечения высот. При M≠H из теоремы о биссектрисе и свойств высот получается:
AO=HM²/(2AH).
Так как HM²=AM²−AH²=l²−h², то
AO=(l²−h²)/(2h).Ответ: (l²−h²)/(2h). При l=h расстояние однозначно не определяется.
x²=AM²−AH²=l²−h².2) По теореме о биссектрисе:
AB/AC=BN/NC=(d−x/2)/(d+x/2).
При этом
AB²=h²+(d−x)²,
AC²=h²+(d+x)².
После возведения равенства в квадрат и упрощения получаем:
d²=h²+x²/2.3) Высота из B перпендикулярна AC. Из подобия соответствующих прямоугольных треугольников получаем:
HO=(d²−x²)/h=h−x²/(2h).
Следовательно,
AO=AH−HO=x²/(2h).4) Подставим x²=l²−h²:
AO=(l²−h²)/(2h).Ответ: (l²−h²)/(2h). Если l=h, то M=H и условие не определяет расстояние до ортоцентра однозначно.
Кратко Пусть O — точка пересечения высот. При M≠H из теоремы о биссектрисе и свойств высот получается:
AO=HM²/(2AH).
Так как HM²=AM²−AH²=l²−h², то
AO=(l²−h²)/(2h).Ответ: (l²−h²)/(2h). При l=h расстояние однозначно не определяется.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Может ли многоугольник иметь две параллельные оси симметрии? Ответ обоснуйте.
Допустим, что многоугольник F имеет две параллельные оси симметрии: p_1 и p_2,симметрия сохраняет расстояния, тогда относительно прямой p_2 прямая p_1 отображается на прямую p_3, также являющуюся осью симметрии, причем все три прямые p_1,p_2 и p_3 различны;
Ответ: нет.
Задание учебника 2023 года
В треугольнике ABC проведены высота АН длиной h, медиана AM длиной l, биссектриса AN. Точка N — середина отрезка МН. Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения высот треугольника ABC.
